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(完整word版)数学分析试题库--证明题--答案

数学分析题库(1—22章)

五.证明题

1.设A,B为R中的非空数集,且满足下述条件:

(1)对任何aA,bB有ab;

(2)对任何0,存在xA,yB,使得Yx。

证明:supAinfB.

证由(1)可得supAinfB.为了证supAinfB,用反证法。若supAinfB,设

,使得。

infBsupA,xA,yByx

00

2.设A,B是非空数集,记SAB,证明:



(1)supSmaxsupA,supB;

(2)

infSmininfA,infB

证(1)若A,B中有一集合无上界,不妨设A无上界,则S也是无上界数集,于是,

supA,supS

结论成立。若A,B都是有上界数集,且supBsupA,现设法证明supSsupA:

(ⅰ),无论或,有

xSxAxBxsupA;



0,xA,xsupA,

(ⅱ)于是xS,

000

xsupA.

0

同理可证(2).

3。按N定义证明

2

5nn25

lim

2

3n23

n

2

5nn25

2

3n23

3n4

2

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