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《角的推广》教学设计

教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

情境引入

同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧.但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？

师：在小学和初中是如何定义角的？

生：我们把有公共端点的两条射线组成的图形称为角.

师：这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角的，因此角的范围是，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.生活中很多实例会不在该范围内，你能举出一些例子吗？

生：…

师：看来有必要将角的概念推广到任意角，想一想用什么方法才能推广到任意角？

引导学生通过切身感受来认识角的概念推广的必要性，为引人正角、负角、零角的概念做好准备.

探究新知

1.角的概念的推广.

（1）“旋转”形成角.

如图，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角.旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止的射线OB叫做角的终边，射线的端点O叫做角的顶点.

（2）“正角”“负角”与“零角”.

习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角称为正角；按照顺时针方向旋转而成的角称为负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，称为零角.这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角.

（3）角的加减运算.

角的概念推广之后，利用转角给出与的几何意义.

2.象限角.

为了方便起见，通常将角放在平面直角坐标系中来讨论，并约定：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上.这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.

例如，角都是第一象限角，角都是第四象限角，角都是第三象限角，角是第二象限角等.

3.终边相同的角.

（1）观察：角，它们的终边都与角的终边相同.

（2）探究：终边相同的角都可以表示成一个到的角与个周角的和：

（3）结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：

.

即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.

例1在到范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.

（1）；（2）.

解：（1），

角与角的终边相同，它是第三象限角.

教师用多媒体演示角的形成过程.

教师指导学生依定义分别作出大小和方向不同的角，并指出角的“顶点”“始边”“终边”.突出“旋转”，注意“顶点”“始边”“终边”.

教师设计以下问题组织学生思考讨论回答：

（1）正角与负角有何本质区别？

（2）正角与负角的实际意义有何不同？

（3）角的概念推广以后应该包括哪些角？

教师应注意指明：正角与负角是具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好像与正数、负数的规定一样，零角无正负.

教师用多媒体演示角的加减运算的几何意义，学生注意观察.

教师提出问题，学生讨论回答：

（1）在平面直角坐标系中表示角时，对角的顶点与角的始边有什么要求？

（2）你对“角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限”这句话是怎么理解的？

（3）分别举出几个第一、二、三、四象限角的例子.

教师引导学生观察分析：

（1）终边相同的角有何特点？（相差整数个周角）

（2）试表示出与角终边相同的角.

（3）用集合表示终边相同的角请注意以下问题：

①；

②是任意角；

③终边相同的角不一定相等，但是相等的角一定终边相同，终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.

选例1的第（1）题板书来示范解题的步骤，第（2）题请几个学生板演，其他学生在下面自己完成，针对学生板演所出现的步骤上的问题及时给予更正，教师要适时引导学生做好总结归纳.

使学生通过观察角的形成过程，获取对新概念的直观印象.

使学生从本质上认识角的形成以及角的分类.

通过观察旋转绝对量的变化学习角的加减运算.

学习新概念与问题讨论相结合，进一步加深学生对于新概念的理解与掌握.

从观察分析入手，通过具体例子，归纳总结出终边相同的角的表示方法，并初步认识用集合表示终边相同的角需注意的几个问题.

例1主要让学生学会如何在到范围内，找出与某个角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.

例题讲解

（2），

角与角的终边相同，它是第四象限角.

例2分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式的元素写出来.

（1）；（2）.

解：（1）.解不等式，得，所以k可取，0或1.

因此S中满足的元素是

（2）.

解不等式，得，所以k可取0，1或2.

因此S中满足的元素是

例3写出终边在第一