湖南省郴州市湘南中学2023-2024学年高三开学摸底联考数学试题.doc

湖南省郴州市湘南中学2022-2023学年高三开学摸底联考数学试题

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（）

A． B． C．1 D．

2．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15m3的住户的户数为()

A．10 B．50 C．60 D．140

3．已知向量，若，则实数的值为（）

A． B． C． D．

4．已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为（）

A． B． C． D．

5．在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足，则的取值范围是（）

A． B．

C． D．

6．设为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于()

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）

A．72种 B．144种 C．288种 D．360种

8．已知，，若，则向量在向量方向的投影为（）

A． B． C． D．

9．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（）

A．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著

B．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关

C．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上

D．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列

10．已知集合，集合，则

A． B．或

C． D．

11．过直线上一点作圆的两条切线，，，为切点，当直线，关于直线对称时，（）

A． B． C． D．

12．年某省将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数，其中且，则______________．

14．已知双曲线的左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为________.

15．（5分）已知函数，则不等式的解集为____________．

16．某高校组织学生辩论赛，六位评委为选手成绩打出分数的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则所剩数据的平均数与中位数的差为______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数，.

（1）当时，

①求函数在点处的切线方程；

②比较与的大小;

（2）当时，若对时，，且有唯一零点，证明：．

18．（12分）已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：.

19．（12分）如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且

(Ⅰ)求证:平面;

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.

20．（12分）已知函数.

（1）证明：当时，；

（2）若函数只有一个零点，求正实数的值.

21．（12分）已知函数，.

（1）判断函数在区间上的零点的个数；

（2）记函数在区间上的两个极值点分别为、，求证：.

22．（10分）已知，函数有最小值7.

（1）求的值；

（2）设，，求证：.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A

【解析】

利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.

【详解】

，，

因此，.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.

2．C

【解析】

从频率分布直方图可知，用水量超过15m3的住户的频率为，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米

所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为，故选C

3．D

【解析】

由两向量垂直可得，整理后可知，将已知条件代入后即可求出实数的值.