猜题04 第21题 数列的综合应用（原卷版）.docx

猜题04第21题数列的综合应用

一、解答题

1．（2022·上海崇明·统考一模）已知数列满足.

(1)若数列的前4项分别为4，2，，1，求的取值范围；

(2)已知数列中各项互不相同.令，求证：数列是等差数列的充要条件是数列是常数列；

(3)已知数列是m（且）个连续正整数1，2，…，m的一个排列.若，求m的所有取值.

2．（2022·上海浦东新·校考一模）已知数列的前项和为，且，.

（1）若数列是等差数列，且，求实数的值；

（2）若数列满足，且，求证：数列是等差数列；

（3）设数列是等比数列，试探究当正实数满足什么条件时，数列具有如下性质：对于任意的，都存在使得，写出你的探求过程，并求出满足条件的正实数的集合.

3．（2020秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）设是正整数，一个有限整数数列，定义它的差集A为构成的集合.

(1)求下列数列的差集A；

①1，2，3，4，5，6，7，8；

②1，2，4，8，16，32

(2)若，，求的最大值和最小值;

(3)若，并且，求满足上述要求的整数列的个数.

4．（2021春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）设数列是公差为d的等差数列.

（1）若，，讨论方程的根的个数；

（2）若，，求函数的最小值；

（3）若数列满足：，试求该数列项数n的最大值.

5．（2022春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）设集合是满足下列两个条件的无穷数列的集合：①；②存在常数，使得

(1)已知，且，求的最小值

(2)是否存在，且满足恒成立？若存在，请写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由；

(3)若且，求数列的通项公式.

6．（2022春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）设集合，其中，，在M的所有元素个数为K（，2≤K≤n）的子集中，我们把每个K元子集的所有元素相加的和记为（，2≤K≤n），每个K元子集的最大元素之和记为（，2≤K≤n），每个K元子集的最小元素之和记为（，2≤K≤n）．

(1)当n＝4时，求、的值；

(2)当n＝10时，求的值；

(3)对任意的n≥3，，给定的，2≤K≤n，是否为与n无关的定值？若是，请给出证明并求出这个定值：若不是，请说明理由．

7．（2021秋·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）已知函数满足，当时，．

（1）当时，求函数的图像与x轴所围成的图形面积；

（2）当时，求函数的最大值；

（3）当时，函数与的图像有交点，将从左向右的交点的横坐标依次记为、、、…，数列是否可能为等比数列，若可能，请求出对应的m值，若不可能请说明理由．

8．（2019秋·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）已知无穷数列，，满足：，，，．记（表示个实数，，中的最大值）．

（1）若，，，求，的可能值；

（2）若，，求满足的的所有值；

（3）设，，是非零整数，且，，互不相等，证明：存在正整数，使得数列，，中有且只有一个数列自第项起各项均为．

9．（2020·上海闵行·统考一模）已知数列满足

（1）当时，写出所有可能的值；

（2）当时，若且对任意恒成立，求数列的通项公式；

（3）记数列的前项和为，若分别构成等差数列，求.

10．（2018·上海普陀·曹杨二中校考三模）已知数列的通项公式为，其中且.

（1）若是正项数列，求的取值范围；

（2）若，数列满足，且对任意，均有，写出所有满足条件的的值；

（3）若，数列满足，其前n项和为，且使的i和j至少4组，、、……、中至少有5个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求，满足的充要条件并加以证明.

11．（2016·上海黄浦·统考二模）已知数列的通项公式为，其中，、.

(1)试写出一组、的值，使得数列中的各项均为正数.

(2)若，，数列满足，且对任意的()，均有，写出所有满足条件的的值.

(3)若，数列满足，其前项和为，且使(、，)的和有且仅有组，、、…、中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求、的最小值.

12．（2015秋·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知数列中的相邻两项，是关于的方程的两个根，且

（1）求，，，；

（2）求数列的前项和；

（3）记，，求的最值．

13．（2017·上海闵行·统考一模）在平面直角坐标系上，有一点列，设点的坐标（），其中．记，，且满足（）．

（1）已知点，点满足，求的坐标；

（2）已知点，（），且（）是递增数列，点在直线：上，求；

（3）若点的坐标为，，求的最大值．

14．（2017秋·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）设集合是由数列组成的集合，其中数列同时满足以下三个条件：

①数列共有项，；②；③

（1）若等比数列，求等比数列的首项、公比和项数；

（2）若等差数列是递增数列，并且，常数，求该数列的通项公式；

（3）若数列，常数，，求证：.

15．（2019·上海