5.1.4_用样本估计总体学案 (1).docxVIP

5.1.4用样本估计总体

考点

学习目标

用样本的数字特征估计总体的数字特征

掌握利用样本的众数、中位数、平均数、方差估计总体的众数、中位数、平均数、方差

通过频率分布或频率分布直方图对数据作出总体估计

掌握通过样本的频率分布或频率分布直方图对数据作出总体估计

【教学重点】

用样本的数字特征估计总体的数字特征、通过频率分布或频率分布直方图对数据作出总体估计

【教学难点】

通过频率分布或频率分布直方图对数据作出总体估计

问题1.用样本的数字特征估计总体的数字特征

知识点1：一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的特征能够反映总体的特征。特别地，样本平均数（也称为样本均值）、方差（也成为样本方差）与总体对应地值

问题2：分层抽样下用样本的数字特征估计总体的数字特征

知识点2：假设第一层有个数，分别为，平均数为，方差为；第二层有个数，分别为，平均数为，方差为，则

如果记样本均值为，样本方差为，则可以计算出

问题3.用样本的分布估计总体的分布

知识点3：同数字特征的估计一样，分布的估计一般也有误差。如果总体在每一个分组的频率记为：，样本每一组对应的频率为，一般来说，

0，

同样，当样本的容量越来越大时，.

例1.为了快速了解某学校学生体重（单位：Kg）的大致情况，随机抽取了10名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示，估计这个学校学生体重的平均数和方差.

【变式练习】

1．某医院急诊中心关于病人等待急诊的时间记录如下：

等待时间/min

5

10

15

20

21

频数

1

8

5

2

1

则病人候诊时间的平均数为________.

2.对划艇运动员甲、乙在相同的条件下进行了6次测试，测得他们每次的最大速度(m/s)如下：

甲：27,38,30,37,35,31

乙：33,29,38,34,28,36

根据以上数据，试判断他们谁的成绩比较稳定．

【解题方法】

在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)．方差大说明取值离散程度大，方差小说明取值离散程度小或者取值集中、稳定．

例2.某高校欲了解在校学生用于课外进修(如各种考证辅导班、外语辅导班等)的开支，在全校8000名学生中用分层随机抽样抽出了一个200人的样本，根据学生科的统计，本科生人数为全校学生的70%，调查最近一个学期课外进修支出(元)的结果如下：

层

样本量

样本均值

样本方差

本科

140

253.4

231

研究

60

329.4

367

试估计全校学生用于课外进修的平均开支和开支的方差．

【变式练习】

在一个文艺比赛中，8名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分．在给某选手的打分中，专业人士打分的平均数和标准差分别为47.4和3.7，观众代表打分的平均数和标准差为56.2和11.8，试根据这些数据计算这名选手得分的平均数和标准差．

【解题方法】

1．计算样本平均数、样本方差直接利用公式，注意公式的变形，样本方差s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xi－\x\to(x)))2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\o(x,\s\up6(－))2.

2．在按比例分配分层随机抽样中，我们可以用样本平均数和样本方差估计总体平均数和总体方差.

例3.我们是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位，t）,将数据按照分层5组，支撑了如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中的a的值；

（2）设该市有10万个家庭，估计全市月均用水量不低于3t的家庭数；

（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数.

【变式练习】

某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．

(1)求这次测试数学成绩的众数；

(2)求这次测试数学成绩的中位数；

(3)求这次测试数学成绩的平均分．

(4)试估计80分以上的学生人数．

【解题方法】

1．众数、中位数、平均数与频率分布表、频率分布直方图的关系

(1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的