3.1 函数概念及其表示法（讲）（解析版）.docx

3.1函数概念及其表示法

1．函数的有关概念

函数的定义

设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

函数的记法

，

定义域

x叫做自变量，x的取值范围A的集合叫做函数的定义域

值域

函数值y的集合叫做函数的值域

2．相同函数

一般地，函数的三要素：定义域，对应关系与值域，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．

3．函数定义域、值域、解析式的求法

（1）求定义域的方法：当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑：

①分母不为零；

②偶次根号的被开方数、式大于或等于零；

③零次幂的底数不为零；

④对数函数的真数要大于零，以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.

注意：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.

（2）求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④数形结合法；⑤换元法；⑥不等式法；⑦图象法等.

（3）求解析式的常用方法：①待定系数法；②换元法；③方程(组)法等.

4．分段函数

(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．

(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．

(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．

5．复合函数

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．

一、函数的定义域

【典例1】函数的定义域是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，解得且，函数的定义域为，故选：C．

【典例2】函数的定义域为（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】要使函数解析式有意义，需满足解得:，故选：C.

【典例3】若函数的定义域为，则的定义域为（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为函数的定义域为，，即，所以，即函数的定义域为，，故选：A.

1、函数的定义域为（????）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】要是函数有意义，必须，解之得，则函数的定义域为，故选：D．

2、函数的定义域为（????????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，得x的取值范围为：，所以函数的定义域为.

故选：A.

3、已知函数的定义域为，则函数的定义域为（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵的定义域为，∴，由，得，则函数的定义域为，故选：A.

二、函数的值域

【典例1】函数的值域是（????）.

A．（﹣∞，2] B．（0，+∞） C．[2，+∞） D．[0，2]

【答案】D

【解析】由，则，解得，所以函数的定义域为，令，当时，，所以，所以函数的值域为[0，2]，故选：D.

【典例2】的值域为．

【答案】

【解析】由可得，故的值域为，故答案为：.

1、函数在区间上的值域为（????）

A．B．C． D．

【答案】C

【解析】，因此该函数的对称轴为：，因为，所以当时，函数有最小值，最小值为，而，所以最大值为，因此值域为，故选：C.

2、函数值域是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，故选：D.

三、函数解析式

【典例1】已知，求的解析式；

【答案】或

【解析】解：由于，所以，由于时，；时，，故的解析式是（或)．

【典例2】已知是一次函数，，则（????）

A． B． C． D．或

【答案】D

【解析】由题意设，则，∴，解得或，∴或，故选：D.

【典例3】若，则.

【答案】

【解析】由题意，可知，解得，故答案为：.

【典例4】已知，求．

【答案】

【解析】解：令，所以．

1、已知，则函数的解析式为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】，令，，则，

故选：B.

2、已知是一次函数，且，则（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设一次函数，则，由得，即，解得，，故选：A．

3、已知函数的定义域为，且，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】令为，则，与联立可解得，，故选：D．