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专题7.2复数的四则运算(重难点题型精讲)
1.复数的加法运算及其几何意义
(1)复数的加法法则
设SKIPIF10=a+bi,SKIPIF10=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数,那么SKIPIF10+SKIPIF10=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的加法满足的运算律
对任意SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10∈C,有
①交换律:SKIPIF10+SKIPIF10=SKIPIF10+SKIPIF10;
②结合律:(SKIPIF10+SKIPIF10)+SKIPIF10=SKIPIF10+(SKIPIF10+SKIPIF10).
(3)复数加法的几何意义
在复平面内,设SKIPIF10=a+bi,SKIPIF10=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为SKIPIF10,SKIPIF10,则SKIPIF10=(a,b),SKIPIF10=(c,d).以SKIPIF10,SKIPIF10对应的线段为邻边作平行四边形SKIPIF10(如图所示),则由平面向量的坐标运算,可得SKIPIF10=SKIPIF10+SKIPIF10=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),即z=(a+c)+(b+d)i,即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.
2.复数的减法运算及其几何意义
(1)复数的减法法则
类比实数减法的意义,我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差,记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义,有c+x=a,d+y=b,因此x=a-c,y=b-d,所以x+yi=(a-c)+(b-d)i,即(a+bi)-(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(2)复数减法的几何意义
两个复数SKIPIF10=a+bi,SKIPIF10=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是SKIPIF10,SKIPIF10,那么这两个复数的差
SKIPIF10-SKIPIF10对应的向量是SKIPIF10-SKIPIF10,即向量SKIPIF10.
如果作SKIPIF10=SKIPIF10,那么点Z对应的复数就是SKIPIF10-SKIPIF10(如图所示).
这说明两个向量SKIPIF10与SKIPIF10的差SKIPIF10就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此,复数的减法可以按照向
量的减法来进行,这是复数减法的几何意义.
3.复数的乘法运算
(1)复数的乘法法则
设SKIPIF10=a+bi,SKIPIF10=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+SKIPIF10
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出,两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把SKI
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