10数学分析简明教程答案(尹小玲邓东皋).pdfVIP

第十章数项级数

§1级数问题的提出

1．证明：若微分方程xyyxy0有多项式解

ya0a1xa2x2anxn，

则必有ai0(i1,2,,n)．

证明由多项式解ya0a1xa2xanx得

2

n

ya12a2x3a3x2nanxn1，y2a26a3x12a4x2n(n1)anxn2.

从而xy2a2x6a3x12a4xn(n1)anx且xya0xa1xa2xan2x将上述结果代入微分方

程xyyxy0，得

2

3

n1

2

3

n1

，

an1xnanxn1.

a1(a04a2)x(a19a3)x2(a216a4)x3

(an2n2an)xn1an1xnanxn10.

比较系数得递推公式如下：

a10,

a04a20,a19a30,

an2a0,

nn2

an10,

an0.

由此解得a0a1a2an0，因而ai0(i0,1,2,,n)．

2．试确定系数a0,a1,,an,，使

a

n0

n

xn满足勒让德方程

(1x2)y2xyl(l1)y0.

解设y

a

n0

n

x，则ynanx

n

n1

n1

，y

n(n1)a

n2

n

xn2，故

(1x)y(1x)n(n1)anx

2

2n2

n2

n(n1)anx

n2n1

n2

n(n1)anxn，

n2

2xy2xnanx

n1

2nanxn，

n1

l(l1)yl(l1)anxl(l1)anxn.

n

n0

n0

将上述结果代入勒让德方程(1x)y2xyl(l1)y0，得

2

0(1x2)y2xyl(l1)y

n(n1)anx

n2

n2

n(n1)anx2nanxl(l1)anxn

n

n

n2

n1

n0

n

n

n

(n2)(n1)an2xn(n1)anx2nanxl(l1)anxn.

n0

n2

n1

n0

比较系数，得递推公式如下：

l(l1)a02a20,(l1)(l2)a6a0,

13

(l2)(l3)a212a40,

(l(n1))(ln)a(n1)na0,

n1n1

(ln)(ln1)an(n2)(n1)an20,

.

由此解得

l(l1)aa0,2

2

a(l2)(l3)a(l2)l(l1)(l3)a,

20

443432k(l2k2)(l2k4)l(l1)(l3)(l2k1)a(1)a0,2k

(2k)!

a(l1)(l2)a,

332(l3)(l4)(l3)(l1)(l2)(l4)a5a3a1,

545432

k(l2k1)(l2k3)(l1)(l2)(l4)(l2k)a(1)a1,

2k1(2k1)!

从而可以得到

(l2k2)(l2k4)l(l1)(l2k1)2kya0a0(1)kx

(2k)!k1

(l2k1)(l2k3)(l1)(l2)(l2k)2k1

a1xa1(1)kx.

(2k1)!k1

其中a0,a1取任何常数．

§2数项级数的收敛性及其基本性质

1．求下列级数的和：（1）

；(5n4)(5n1)n1

（2）

4n

n1

2

；

(1)n1

（3）；n1

2n1

（4）

2n1

；n

2n1

（5）

r

n1

n

sinnx,r1；

（6）

r

n1

n

cosnx,r1．

1111

，故

(5n4)(5n1)55n45n1

解（1）由于

Sn

111

16611(5n4)(5n1)

1111111566115n45n11111(n)，55n15

所以级数的和S

1.51

111

，故