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《向量在几何、物理中的应用及余弦定理》知识拓展
知识要点
1.余弦定理
三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即余弦定理的推论
余弦定理对任意三角形都成立.
2.余弦定理常见应用
(1)已知三角形两边及其夹角,求其他元素;
(2)已知三角形三边,求其他元素.
问题探究
问题1用向量法解答物理问题的过程中,在给出答案时除了要考虑向量本身的意义，还要考虑什么?
提示在给出答案时,还要考虑所给出的结果是否满足实际意义.
问题2如何理解余弦定理?
提示(1)三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即.
(2)余弦定理反映了三角形各元素间的动态结构,揭示了三角形的边角关系,它是勾股定理的进一步推广,其主要作用是将已知条件中边的关系转化为角的关系或者将角的关系转化为边的关系.同时大家要熟练掌握余弦定理的推论(已知三边求三角).
问题3怎样证明余弦定理?
方法一:作高法(以角A为标准分锐角、直角、钝角三角形)
如图,在中,过点作,垂足为.
设,
则.
在直角三角形中,由勾股定理得,
整理得.
同理可得,.
方法二:坐标法
设.如图,以点为坐标原点,所在的直线为轴建立平面直角坐标系,则,
.
同理可得,.
方法三:利用向量法证明余弦定理
设,
.
同理可得.
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