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中考数学中的极值问题

【摘要】最大最小值问题在初中阶段是一块较为复杂的内容，主要涉及到

函数、不等式以及部分几何问题，对于学生来讲是一个较难理解和掌握的单元，

本文就各地中考中出现的各种极值问题进行归类讨论，方便教师在进行极值问题

教学的时候参考和举例。

【关键词】极值问题；一次函数；二次函数；平面几何；最短路线

在历年的中考中极值问题是最为常见的题型，富有变化力、形势多样、考察

内容全面。对于学生来讲，需要掌握多种题型的解答方法。例如：二次函数的性

质、根据抛物线开口方向确定自变量、函数值、单调性和顶点坐标，说明二次函

数在什么情况下取得最大（小）值等等，下面笔者例举几大常见的题型，方便教

师教学时参考。

1.运用一次函数和二次函数来求最值

此类题型最为常见，一次函数y=kx+b（k0）的最大最小值取决于自变量，

只有x限定了范围则在该范围内才存在极值。假定x1xx2，当k0（k0），x=x1

取最小（大）值，x=x2取最大（小）值。二次函数y=ax+bx+c（a0），当a0时（a0），

x=-b/2a时在其定点处取最小（大）值。

例1.y=x+x+1/2，求其最值。

解析：学生在做该题的时候要注意第一个问题，最值是最大还是最小值，这

是一个采分点。这种题最为简单，但是也最容易在这里丢分。许多学生看到简单

的题放松警惕，反而会在这些不起眼的地方摔跤。所以该题的最小值为为顶点y

坐标（4ac-b）/4a=3/4

2.平面几何中的最值问题

在这类问题中，一般是当一种或多种几何元素在给定的条件变动时，求一种

或几种几何量：例如，图形面积、角的度数、线段长度的最大值或最小值问题，

这种最值问题的解决方法通常有以下两种：

（1）利用代数的证法：

利用一元二次方程根的判别式。

运用配方法来求出二次三项式最值；

利用几何的性质：

在连接直线外的一点与直线上各点的所有连接线段中，垂线段最短；

在定圆中的所有弦中，直径最长。

三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

两点之间线段最短；

下面列举几道例题。

例题1已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接

半圆的梯形，问该如何剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大（图391）？

分析通过读题，我们可以发现这道题求的是最长的线段，那么我们首先就

要联想起有关线段的最长的性质，什么样的线段是最长的线段，通过看图我们发

现本例中求的是半圆AB的内接梯形的最大周长，那么我们可以设半圆半径为

R.由于ABCD，则AC=BD.如果假设CD=2y，AC=x，那么只要求出梯形ABDC

的半周长u=x+y+R的最大值即可.

所以把半圆三等分，可得到梯形两顶点C和D，

这时，梯形的底角恰为60和120。

例题二.如图392是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的窗框周长为8

米，那么怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？

解析通过读题，我们可以发现这道题求的是最大的面积，而且是矩形和圆

形的面积，那么我们就要启发学生，这两种图形的面积公式是什么。这是一种做

题的思路，学习数学最重要的是要有一个条理、准确的数学思维，先看题要求什

么，然后联想有关的性质、定理和公式，这样才能有目的性地做题。

设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，

把代入可以得出

因此，当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰好和半径相等时，窗户面积最

大.

3.最短路线问题

解答最短路线的核心方法是“遵循平面内连结两点的线中，直线段最短”

如果我们研究的问题在一个平面内，那么它的最短路线是一个线段。但是在

凸多面体和带曲面的多面体中求这种最短线段的问题时候，基本思路是展开物体

的外表面，然后在两点之间做连线，求出长度即可。

以上是在立体的多面体上求最短路线，在平面二维图形中在求最短路线时，

一般我们常遇到涉及到折线最短路线问题，这解决这种问题的时候我们常用对称

法，先对称画出关于这条河或路的对称点，然后连接对称点和另