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湖北省恩施州2023年高三第三次诊断数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设i是虚数单位,若复数是纯虚数,则a的值为()
A. B.3 C.1 D.
2.在平行四边形中,若则()
A. B. C. D.
3.已知函数是定义域为的偶函数,且满足,当时,,则函数在区间上零点的个数为()
A.9 B.10 C.18 D.20
4.如图所示,三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一内角为,若向弦图内随机抛掷500颗米粒(米粒大小忽略不计,取),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为()
A.134 B.67 C.182 D.108
5.若函数在时取得极值,则()
A. B. C. D.
6.a为正实数,i为虚数单位,,则a=()
A.2 B. C. D.1
7.已知函数,若关于的方程有4个不同的实数根,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
8.已知复数满足(其中为的共轭复数),则的值为()
A.1 B.2 C. D.
9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点在正视图上的对应点为,圆柱表面上的点在左视图上的对应点为,则在此圆柱侧面上,从到的路径中,最短路径的长度为()
A. B. C. D.2
10.复数的共轭复数记作,已知复数对应复平面上的点,复数:满足.则等于()
A. B. C. D.
11.某四棱锥的三视图如图所示,该几何体的体积是()
A.8 B. C.4 D.
12.要得到函数的图象,只需将函数图象上所有点的横坐标()
A.伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度
B.伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图像向左平移个单位长度
C.缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度
D.缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.设的内角的对边分别为,,.若,,,则_____________
14.在中,,,则_________.
15.已知函数,若,则的取值范围是__
16.某校为了解家长对学校食堂的满意情况,分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分,其频数分布表如下:
满意度评分分组
合计
高一
1
3
6
6
4
20
高二
2
6
5
5
2
20
根据评分,将家长的满意度从低到高分为三个等级:
满意度评分
评分70分
70评分90
评分90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
假设两个年级家长的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从高一、高二年级各随机抽取1名家长,记事件:“高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级”,则事件发生的概率为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足bcosA﹣asinB=1.
(1)求A;
(2)已知a=2,B=,求△ABC的面积.
18.(12分)我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来,已发现132颗优质的脉冲星候选体,其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星,脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一,脉冲星就是正在快速自转的中子星,每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间(脉冲星的自转周期)是-定的,最小小到0.0014秒,最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期,绘制了如图的频率分布直方图.
(1)在93颗新发现的脉冲星中,自转周期在2至10秒的大约有多少颗?
(2)根据频率分布直方图,求新发现脉冲星自转周期的平均值.
19.(12分)如图,三棱柱的所有棱长均相等,在底面上的投影在棱上,且∥平面
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的余弦值.
20.(12分)已知函数.
(1)
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