导数与函数零点.pptx

导数与函数零点

研题型·通法悟道

目标1求函数零点的个数(1)已知函数f(x)＝lnx－aex＋1(a∈R)，讨论函数f(x)的零点个数．1【解答】

【解答】1

利用导数解决函数零点个数的方法(1)直接法：将问题转化为函数图象与x轴的交点问题．(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题．(3)参变量分离法：由f(x)＝0分离变量得出a＝g(x)，将问题等价转化为直线y＝a与函数y＝g(x)的图象的交点个数问题．

【解答】

【解答】

令g′(x)＞0，得0＜x＜2；令g′(x)＜0，得x＞2，故g(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，故x＝2是g(x)唯一的极值点且为极大值点，故g(x)的最大值为g(2)＝2ln2＞0．

目标2根据零点个数求参数已知函数f(x)＝axlnx－2x．(1)若f(x)在x＝1处取得极值，求f(x)在区间[1,2]上的值域；2【解答】?f′(x)＝alnx＋a－2．因为f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝aln1＋a－2＝0，得a＝2，则x∈[1,2]时，f′(x)＝2lnx≥0，f(x)在区间[1,2]上单调递增，所以f(1)＝－2≤f(x)≤f(2)＝4ln2－4，所以f(x)在区间[1,2]上的值域为[－2,4ln2－4]．

2【解答】h(x)的定义域为(0，＋∞)，函数h(x)＝alnx－x2有1个零点?alnx＝x2有1个实数根?y＝alnx的图象与y＝x2的图象有一个交点．当a＜0时，作出y＝alnx与y＝x2的大致图象如图所示，由图可知满足题意．

综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪{2e}．

根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数的单调性确定函数图象与x轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”．

变式(2024·南通期初)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a＞0)的极小值为－2，其导函数f′(x)的图象经过A(－1,0)，B(1,0)两点．(1)求f(x)的解析式；【解答】f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，因为a＞0，且f′(x)的图象经过A(－1,0)，B(1,0)两点，所以当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，所以f(1)＝a＋b＋c＝－2．

变式(2024·南通期初)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a＞0)的极小值为－2，其导函数f′(x)的图象经过A(－1,0)，B(1,0)两点．(2)若曲线y＝f(x)恰有三条过点P(1，m)的切线，求实数m的取值范围．【解答】

因为曲线y＝f(x)恰有三条过点P(1，m)的切线，所以方程2x3－3x2＋m＋3＝0有三个不同实数解．记g(x)＝2x3－3x2＋m＋3，则g′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，令g′(x)＝0，得x＝0或1．列表如下：x(－∞，0)0(0,1)1(1，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)极大值极小值

【解答】

【解答】综上，当k＞1时，方程无解；当k＝1时，方程有1个根；当0＜k＜1时，方程有2个根．

综上，当k＞1时，方程无解；当k＝1时，方程有1个根；当0＜k＜1时，方程有2个根．

配套精练

1．方程(x＋1)ex＝a(a＞0)解的个数为 ()A．3 B．2C．1 D．0【解析】C

如图，作出y＝f(x)与y＝a的图象，则方程的解的个数为两函数图象的交点个数，因为a＞0，所以由图知，方程(x＋1)ex＝a(a＞0)解的个数为1．

A．1 B．0C．3 D．2D

【解析】综上可知，函数g(x)有2个零点．

3．(2023·全国乙卷文)若函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则实数a的取值范围是 ()A．(－∞，－2) B．(－∞，－3)C．(－4，－1) D．(－3，0)【解析】f(x)＝x3＋ax＋2，则f′(x)＝3x2＋a，若f(x)存在3个零点，则f(x)存在极大值和极小值，则a＜0．B

A

【解析】

A．?a∈R，函数f(x)在R上均有极值B．?a∈R，使得函数f(x)在R上无极值C．?a∈R，函数f(x)在(－∞，0)上有且仅有1个零点D．?a∈R，使得函数f(x)在(－∞，0)上有2个零点BC

【解析】f′(x)＝x2＋ax，当a＝0时，f′(x)≥0，f(x)无极值，故A错误，B正确．当a＝0时，f(x)在R上单调递增，f(－3)＝－8，f(0)＝1，f(－3)f(0)＜0，所以f