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高中数学教学设计

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《平面向量的坐标及其运算第一课时》教学设计一

数学设计

一、创设情境

以前，我们所讲的向量是用有向线段表示的，即几何的方法表示.向量是否可以用代数的方法，比如用坐标来表示呢？如果可以的话，向量的运算就可以通过坐标运算来完成，那么问题的解决肯定要方便得多.因此，我们有必要探究一下这个问题：平面内向量的坐标.

在物理学中，有这样的例子，如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力.飞机在起飞时若沿仰角的方向起飞的速度为v，则v可分解为沿水平方向的速度和沿竖直方向的速度.从这两个实例可以看出，把一个向量分解到两个不同的方向，特别是在两个互相垂直的方向上进行分解，是解决问题的一种十分重要的手段.类比物理学上的这种分解，本节课我们将学习平面向量的基底中的两个向量互相垂直的特例.

设计意图：课堂教学论认为：要使教学过程最优化，首先要把已学的材料与学生已有的信息联系起来.在本节课之前，学生接触到的是向量的几何表示；共线向量的充要条件和平面向量的基本定理为引入平面向量的坐标运算奠定了理论基础，尤其是平面向量的基本定理，在新授课之前，教师可再次跟学生进行强调，揭示其本质：即平面内的任一向量都可以表示为不共线的两个向量的线性组合.对于基底的理解，指出“基底不唯一，关键是不共线”.这样就使得新课的导入显得自然而不突兀，学生也很容易联想到基底选择的特殊性，从而引出平面向量的坐标表示.

二、讲解新课

1.平面内向量的坐标.

提出问题：

（1）什么是正交基底？什么是正交分解？

（2）用向量的观点重新认识平面直角坐标系，你有什么新的发现？

（3）在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数—即它的坐标表示.对平面直角坐标平面内的每一个向量，又该如何表示呢？在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？

（4）如何求平面上向量的坐标？

活动：如果平面向量的基底中，，就称这组基底为正交基底.在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.以后会看到，在正交基底下进行向量分解，许多有关度量的问题会变得较为简单.现在，让我们用向量的观点重新认识一下我们学过的平面直角坐标系.

在平面直角坐标系内（如图），分别取与x轴和y轴的正方向同方向的两个单位向量.这时，我们就在坐标平面内建立了一组正交基底和分别是与x轴和y轴的正方向同方向的单位向量.这个基底也称为平面直角坐标系的基底.

在坐标平面内（如上图），任作一向量a（用有向线段表示），由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得就是向量a在基底下的坐标，记为.

其中x称为向量a在x轴上的坐标分量，y称为向量a在y轴上的坐标分量.分别过向量的始点、终点作x轴和y轴的垂线，设垂足分别为和，坐标分量x为向量在x轴上的坐标，坐标分量y为向量在y轴上的坐标.

显然，.

设向量的方向相对于x轴正向的转角为，由三角函数的定义可知.

在平面直角坐标系中（如下图），一点A的位置被点A的位置向量所唯一确定，设点A的坐标为，容易看出，即点A的位置向量的坐标为，也就是点A的坐标；反之，点A的坐标也是点A相对于坐标原点的位置向量的坐标.

由上面的探究，得符号在平面直角坐标系中就有了双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量为了加以区分，在叙述中，常说点，或向量.

讨论结果：（1）~（2）略.

（3）平面内的任一向量a都可由坐标唯一确定，是一一对应的关系.

（4）方法一：将向量用单位向量表示出来.

方法二：将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标.

2.平面上向量的运算与坐标的关系.

提出问题：学习了平面向量的坐标表示，我们自然会想，能对两个向量进行加、减、数乘向量运算吗？请试一试，看看有什么新发现.

活动：教师引导学生自己探究两个向量的加、减、数乘向量运算，教师给予适时的点拨，学生很容易推得：

设，则，即.

同样有：，

.

讨论结果：

（1）向量的加、减、数乘向量运算，在平面直角坐标系中，完全可以代数化，这给我们的研究带来极大的方便.为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量a的有向线段的始点，这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点A唯一确定了，即点A的坐标就是向量a的坐标，流程表示如下：

的坐标为.

（2）我们还能得到如下公式：如果，则.

（3）两个向量相等的充要条件是它们的坐标对应相等.

设计意图：完成平面向量的坐标运算的新知识的建构过程.通过讨论交流和教师提示，使学生的思维得到发展，观察、归纳能力得到提高，从而加深对知识的理解.

3.例题讲解.

例1、如图，分别写出向量的坐标.

解