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《指数函数与对数函数的关系》教学设计

教学设计

一、导入新课

前面我们学习了指数函数与对数函数，那么指数函数与对数函数有什么关系呢？这就是本节课我们要研究的新内容.

设计意图：在比较系统地学习了指数函数、对数函数的定义、图像和性质的基础上，利用指数函数、对数函数的图像和性质研究一些含有指数式的、对数式的函数的图像和性质，特别明确了指数函数、对数函数的单调性，并且我们利用指数函数、对数函数的单调性解决了有关问题.因此，要搞清函数和的关系，从而培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力.

二、推进新课

1.用列表描点法在同一个直角坐标系中分别画出函数与的图像.

2.通过图像探索在指数函数中，为自变量，为因变量，如果把当成自变量，当成因变量，那么是的函数吗？

3.如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.

4.探索函数与的图像之间的关系.

5.结合前面的问题推测函数与的关系.

讨论结果：

1.列表：

…

-3

-2

-1

0

1

2

3

…

…

1

2

4

8

…

，列表：

…

1

2

4

8

…

…

-3

-2

-1

0

1

2

3

…

画出函数图像如图所示.

教师让学生在同一个直角坐标系中画出函数与的图像，体会它们之间的关系.

2.在指数函数中，是自变量，是的函数，而且其在上是单调递增函数.过轴的正半轴上任意一点作轴的平行线，与的图像有且只有一个交点，即对任意的都有唯一的与之对应，可以把作为自变量，作为的函数.

3.根据指数式与对数式关系，由得，即对于每一个，在关系式的作用之下，都有唯一的确定的值和它对应，所以，可以把作为自变量，作为的函数，即.但习惯上，通常以表示自变量，表示函数，对调中的，可写成.

一般地，如果在函数中，给定值域中任意一个的值，只有唯一的与之对应，那么是的函数，这个函数称为的反函数.此时，称存在反函数.而且，如果函数的自变量仍用表示，因变量仍用表示，则函数的反函数的表达式，可以通过对调中的与，然后从中求出得到.当然，也可以先在中用表示，再将与对调，得出反函数.这样是指数函数的反函数.由上述讨论可知，对数函数是指数函数的反函数；同时，指数函数也是对数函数的反函数.因此，指数函数与对数函数互为反函数.函数的反函数通常用表示.

教师强调：和表示的意义是相对的，不要认为把放在因变量的位置上就是错的.

4.通过观察图像可知，函数与的图像关于直线对称.

5.通过前面的讨论知道，的反函数是，的定义域与的值域相同，的值域与的定义域相同，且它们的图像关于直线对称.

由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图像关于直线对称.

三、例题讲解

例1分别判断下列函数是否存在反函数，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数.

（1）

1

2

3

4

5

0

0

1

3

5

（2）

1

2

3

4

5

-1

0

1

-2

5

解（1）因为时，或，即对应的不唯一，因此的反函数不存在.

（2）因为对的值域中任意一个值，都只有唯一的与之对应，因此的反函数存在，而且反函数可以表示如下.

-2

-1

0

1

5

4

1

2

3

5

【规律方法总结】利用表格的形式充分感知互为反函数的定义域与值域的关系，便于直观感知函数的对称特点.

例2求下列函数的反函数：

（1）；（2）.

解（1）由，得，对换，，得.

（2）由，得，则，

对换，，得.

【规律方法总结】求反函数的步骤：（1）将看成关于的方程，解方程得；（2），互换得.也可以是：（1）根据将用表示出来；（2）对调，，得.

变式训练

求证：函数的图像关于直线对称.

答案由，得，对换，，得.

函数的反函数是其本身.

函数的图像关于直线对称.

例3判断的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数的解析式，并在同一平面直角坐标系中作出与的函数图像.

解因为是增函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的与之对应，所以存在反函数.

令，对调其中的和得，解得

，

因此

.

与的函数图像如图所示.

【规律方法总结】由反函数的定义可知，如果是单调函数，那么它的反函数一定存在.此时，如果是增函数，则也是增函数；如果是减函数，则也是减函数.

知能训练

1.函数的反函数是（）

A.B.

C.D.

答案B

2.函数的图像关于（）

A.直线对称B.直线对称

C.轴对称D.轴对称

答案A

3.写出下列函数的反函数：

（1）；（2）；（3）.

答案（1）；（2）；（3）.

四、小结与作业

1.小结.

（1）反函数的概念、性质及求法.

（2）指数函数与对数函数互为反函数.

（3）指数函数与对数函数的图像关于直线对称.

2.作业.

教材第32页习题4-3