六节二重积分的概念及质市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptVIP

第六节二重积分概念及性质一、引例二、二重积分定义三、二重积分性质第1页第1页

一、引例解分三步处理这个问题.引例1质量问题.已知平面薄板D面密度(即单位面积质量)是点(x,y)连续函数,求D质量.(1)分割将D用两组曲线任意分割成n个小块:其中任意两小块和除边界外无公共点.与一元函数情况类似，我们用符号既表示第i个小块，也表示第i个小块面.(i=1,2,…,n).第2页第2页

故所要求质量m近似值为(2)近似、求和若记为直径(即表示中任意两点间距离最大值),将任意一点处密度近似看作为整个小块面密度.得(3)取极限记，则定义为所求薄板D质量m.第3页第3页

引例2曲顶柱体体积.若有一个柱体,它底是Oxy平面上闭区域D,它侧面是以D边界曲线为准线,且母线平行于z轴柱面,它顶是曲面z=f(x,y),设f(x,y)≥0为D上连续函数.我们称这个柱体为曲顶柱体.现在来求这个曲顶柱体体积.解也分三步处理这个问题.(1)分割区域D用两组曲线任意分割成n个小块:第4页第4页

其中任意两小块和除边界外无公共点.其中既表示第i个小块,也表示第i个小块面积.第5页第5页

(2)近似、求和记为直径(即表示中任意两点间距离最大值),在中任取一点,以为高而底为平顶柱体体积为此为小曲顶柱体体积近似值，故曲顶柱体近似值能够取为第6页第6页

(3)取极限若记,则定义为所讨论曲顶柱体体积.第7页第7页

二、二重积分定义定义设f(x,y)在闭区域D上有定义且有界.(1)分割用任意两组曲线分割D成n个小块其中任意两小块和除边界外无公共点,既表示第i小块,也表示第i小块面积.(2)近似、求和对任意点，作和式(3)取极限若为直径，记,若极限第8页第8页

存在,且它不依赖于区域D分法,也不依赖于点取法,称此极限为f(x,y)在D上二重积分.记为(2)称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x，y为积分变元，为面积微元(或面积元素).由这个定义可知，质量非均匀分布薄板D质量等于其面密度在D上二重积分.因此二重积分物理意义能够解释为：二重积分值等于面密度为f(x,y)平面薄板D质量.第9页第9页

二重积分几何意义:(1)若在D上f(x,y)≥0,则表示以区域D为底,以f(x,y)为曲顶曲顶柱体体积.(2)若在D上f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面下方，二重积分值是负，其绝对值为该曲顶柱体体积.(3)若f(x,y)在D一些子区域上为正，在D另一些子区域上为负，则表示在这些子区域上曲顶柱体体积代数和(即在Oxy平面之上曲顶柱体体积减去Oxy平面之下曲顶柱体体积).第10页第10页

二重积分存在定理若f(x,y)在有界闭区域D上连续,则f(x,y)在D上二重积分必存在(即f(x,y)在D上必可积).第11页第11页

三、二重积分性质二重积分有与定积分类似性质.假设下面各性质中所涉及函数f(x,y),g(x,y)在区域D上都是可积.性质1有限个可积函数代数和必定可积，且函数代数和积分等于各函数积分代数和，即性质2被积函数中常数因子能够提到积分号前面，即第12页第12页

性质3若D能够分为两个区域D1,D2,它们除边界外无公共点,