湖南省衡阳市祁东县第二中学2024届高三“临门一脚”数学试题.doc

湖南省衡阳市祁东县第二中学2023届高三“临门一脚”数学试题

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（）

A． B． C． D．

2．过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．已知各项都为正的等差数列中，，若，，成等比数列，则（）

A． B． C． D．

4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

5．已知函数是定义在上的奇函数，函数满足，且时，，则（）

A．2 B． C．1 D．

6．已知底面为边长为的正方形，侧棱长为的直四棱柱中，是上底面上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（）

①与点距离为的点形成一条曲线，则该曲线的长度是；

②若面，则与面所成角的正切值取值范围是；

③若，则在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为.

A． B． C． D．

7．如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且，，则与面所成角的正弦值等于（）

A． B． C． D．

8．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

A． B． C． D．

9．已知复数是纯虚数，其中是实数，则等于（）

A． B． C． D．

10．设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则m的值为（）

A． B． C．1 D．3

11．已知是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于两点，若，则的内切圆半径为（）

A． B． C． D．

12．已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设集合，，则____________.

14．已知多项式满足，则_________，__________．

15．过点，且圆心在直线上的圆的半径为__________．

16．如图是一个算法的伪代码，运行后输出的值为___________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，丄底面.

（1）证明：平面平面；

（2）过的平面交于点，若平面把四棱锥分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.

18．（12分）在平面直角坐标系中，曲线：（为参数，），曲线：（为参数）.若曲线和相切.

（1）在以为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，求曲线的普通方程；

（2）若点，为曲线上两动点，且满足，求面积的最大值.

19．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点，点在第一象限，为左顶点，为下顶点，交轴于点，交轴于点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求点的坐标.

20．（12分）已知函数，.

（1）当时，判断是否是函数的极值点，并说明理由；

（2）当时，不等式恒成立，求整数的最小值.

21．（12分）如图，在直角中，，通过以直线为轴顺时针旋转得到（）.点为斜边上一点.点为线段上一点，且.

（1）证明：平面；

（2）当直线与平面所成的角取最大值时，求二面角的正弦值.

22．（10分）设椭圆的左右焦点分别为，离心率是，动点在椭圆上运动，当轴时，.

（1）求椭圆的方程；

（2）延长分别交椭圆于点（不重合）.设，求的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C

【解析】

先利用等比数列的性质得到的值，再根据的方程组可得的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前项和，根据后两个公式可得正确的选项.

【详解】

因为为等比数列，所以，故即，

由可得或，因为为递增数列，故符合.

此时，所以或（舍，因为为递增数列）.

故，.

故选C.

【点睛】

一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：

（1）若，则；

（2）公比时，则有，其中为常数且；

（3）为等比数列（）且公比为.

2．C

【解析】

设直线AB的方程