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高斯小学奥数四年级上册含答案第12讲_乘法原理进阶--第1页
第十二讲乘法原理进阶
在之前我们学习了“加法原理与乘法原理”一讲，即分类相加与分步相乘的
思想．
如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每
步的方法数相乘就得到所有的方法数——这就是乘法原理．
要想把过程分成几个步骤从而应用乘法原理，必须保证各步骤之间满足下面
两个要求：
1.每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才算做完这件事；
高斯小学奥数四年级上册含答案第12讲_乘法原理进阶--第1页
高斯小学奥数四年级上册含答案第12讲_乘法原理进阶--第2页
2.步骤之间要有先后顺序，先确定好一步，再做下一步，……直到最后．
那么是不是只要分步骤完成整件事情就可以直接用乘法原理呢？
如下图，把A、B、C三部分用三种不同的颜色染色，要求相邻两部分不能
同色，那么一共有多少种不同的染法呢？
ABC
其实，整个染色过程是需要分为三步的，即分别给其中一块染色：
当染色顺序为A→B→C时，那么A有3种染法，B不能和A一样，有2种
染法，同样C有2种，那么一共就有“322”种染法；（C→B→A同理）
当染色顺序为B→A→C时，那么B有3种染法，A不能和B一样，有2种
染法，同样C有2种，那么一共就有“322”种染法；（B→C→A同理）
当染色顺序为A→C→B时，那么A有3种染法，第二步C没有限制，也有
3种染法，但是最后的B就出问题了，我们没法确定它有2种还是1种染法——
如果C和A同色，则B有2种染法；如果C和A不同色，则B只有1种染法—
—此时，根据分步相乘的思想计算整个过程的染色方法“33?”就不再适用
了．（C→A→B同理）
因此，并不是只要分步完成整件事情就一定可以应用乘法原理，要想应用乘
法原理，还必须满足第三个要求：
3.做完一步时，这一步的结果很可能会影响后面步骤的结果，但一定不能
影响后面步骤的方法数．如果这一步的不同结果会导致后面某一步的方法数发生
变化，就不能直接用乘法原理计算．
——简称“前不影响后原则”
．．．．．
ABC
染色问题，是应用乘法原理最常见的一类题型，其实，从上面对、、
三部分的染色分析我们应该可以发现，染色的时候，要尽量避免“隔”着染，一
定不要“跳”着染，而且，第一步要尽量去染“接触最多”的那一部分，这样，
才能够使得后面的染色过程尽量避开“前影响后”．
高斯小学奥数四年级上册含答案第12讲_乘法原理进阶--第2页
高斯小学奥数四年级上册含答案第12讲_乘法原理进阶--第3页
例题1
如图，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色
A
染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色．请问：这
B
幅图共有多少种不同的染色方法？
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