第01讲 导数的概念与运算（练习）（解析版）_1.docx

第01讲导数的概念与运算

（模拟精练+真题演练）

1．（2023·全国·模拟预测）已知为实数，函数是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为是偶函数，

所以，

所以，故，

又，所以，，

故曲线在点处的切线方程为，即.

故选：A.

2．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知抛物线C：，（）的焦点为F，为C上一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为，则直线FM的斜率为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵，

∴，，

∴，

由题意知，，解得：，

又∵M在上，

∴，解得：，

∴，

∴.

故选：B.

3．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则（????）

A． B．2 C．±2 D．

【答案】D

【解析】因为，所以.

因为，所以的图象在处的切线方程为.

因为切线与坐标轴能围成三角形，所以，

令，得，令，得，

所以，所以.

故选：D

4．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图是函数的导函数的图象，若，则的图象大致为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由的图象可知，当时，，则在区间上，函数上各点处切线的斜率在区间内，

对于A，在区间上，函数上各点处切线的斜率均小于0，故A不正确；

对于B，在区间上，函数上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故B不正确；

对于C，在区间上，函数上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故C不正确；

对于D，由的图象可知，当时，，当时，，当时，，

所以函数上各点处切线的斜率在区间内，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

而函数的图象均符合这些性质，故D正确.

故选：D

5．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（????）

A．2 B．-1 C．1 D．

【答案】C

【解析】.

故曲线在点处的切线斜率为.

故选：C

6．（2023·河南郑州·统考模拟预测）若过原点与曲线相切的直线，切点均与原点不重合的有2条，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以，

设过原点的切线与曲线在处相切，

所以切线的斜率，整理得，

设，则，所以当时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，且当时，当时，

所以当时过原点与曲线相切的直线有2条.

故选：C

7．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）若曲线与有三条公切线，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设公切线为是与的切点，由，得，

设是与的切点，由，得，

所以的方程为，

因为，整理得，

同理，

因为，整理得，

依题意两条直线重合，可得，

消去，得，

由题意此方程有三个不等实根，设，

即直线与曲线有三个不同的交点，

因为，令，则，

当或时，；当时，，

所以有极小值为，有极大值为，

因为，，，所以，

当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于，

故的图象简单表示为下图:

所以当，即时，直线与曲线有三个交点.

故选：A.

8．（2023·湖北·模拟预测）已知函数，都有的最小值为0，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意知，都有的最小值为0，可转化为直线与相切.

设切点坐标为，则可得，可得.

令，则，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

所以，即的最小值为.

故选:A.

9．（多选题）（2023·重庆·校联考三模）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是（????）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABD

【解析】A选项，根据可得，在R上单调递增，

因为，所以，A正确；

B选项，因为，，且，总有，

所以函数图象上凸，画出函数图象，由几何意义可知，表示函数图象上的各点处的切线斜率，

显然随着的增大，切线斜率变小，且恒为正，

因为，所以，B正确；

C选项，，结合函数图象可知，C错误，D正确.

??

故选：ABD

10．（多选题）（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线：为曲线：和：的公切线，则下列结论正确的是（????）

A．曲线的图象在轴的上方

B．当时，

C．若，则

D．当时，和必存在斜率为的公切线

【答案】ABD

【解析】选项A，由，得，可知曲线的图象在轴的上方，故A正确；

选项B，当时，：，：，

对于：，有，

因为直线：为曲线的切线，

所以，即，此时