第01讲 集合 期末大总结(解析版)_1.docx

第1讲集合期末大总结

目录速览

第一部分：必会知识结构导图

第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结

第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳

必会题型一：集合的含义与表示

必会题型二：集合间的基本关系

必会题型三：集合的基本运算

必会题型四：Venn图法解决集合运算问题

必会题型五：分类讨论法解决元素与集合关系问题

必会题型六：根据集合包含关系求参数值或范围

第一部分：知识结构导图速看

第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结

1．集合与元素的概念

(1)集合：一般地，指定的某些对象的全体称为集合．集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．

(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素．元素常用小写字母a，b，c，d，…标记．

2．元素与集合的关系

(1)属于：若a在集合A中，就说a属于集合A，记作a∈A．

(2)不属于：若a不在集合A中，就说a不属于集合A，记作a?A．

3．集合中元素的特性

(1)确定性；(2)互异性(元素互不相同)；

(3)无序性：如{1，2，3}和{3，2，1}表示同一个集合．

4．集合的表示

(1)列举法：列举法是把集合中的元素一一列举出来并用大括号“{}”括起来的方法(元素之间用“，”隔开)，如{1，2，3}．

(2)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法。它的一般形式为{x∈A|p(x)}，如{(x，y)|xy＝0}、{x|(x＋1)(x－3)＝0}、{y|y＝x2}．

5．常用数集及表示符号：

自然数集N；正整数集N*或N＋；整数集Z；有理数集Q；实数集R。

6．集合的分类

(1)有限集：我们把含有限个元素的集合叫有限集．

(2)无限集：含无限个元素的集合叫无限集．

(3)空集：我们把不含有任何元素的集合叫作空集，记作?．

7．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合这种图称为Venn图(可以是圆，椭圆，矩形等封闭曲线)。

8．集合相等、子集、真子集[包含于(?)，包含(?)，真包含于()，真包含()]

概念

定义

符号表示

图形表示

集合相等

如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，称集合A与集合B相等

A＝B

子集

如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集

A?B(或B?A)

真子集

如果A?B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集

AB或(BA)

9．当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作Aeq\o(?,\s\up0(/))B(或Beq\o(?,/)A)．

10．常用结论

(1)对于集合A，B，如果A?B且B?A则A＝B．

(2)对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，则A?C(注意A＝?)．

(3)对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC．

(4)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即对任何一个集合A，都有??A．

(5)空集只有一个子集，即它本身；空集无真子集．

11．n个元素的集合有

(1)2n个子集；(2)2n－1个真子集；

(3)2n－1个非空子集；(4)2n－2个非空真子集．

12．并集、交集与补集

并集A∪B

交集A∩B

补集?U

文字符号语言

集合A和B的元素合并在一起组成的集合。

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

集合A和B的公共元素组成的集合。

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

全集U中不属于A的所有元素构成的集合。

?UA＝{x|x∈U且x?A}

图形语言

常用运算

A∪?＝A；

A∪B?A；B?A∪B

A∪B＝A?B?A

(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；

A∩?＝?；

A∩B?A；A∩B?B；

A∩B＝A?A?B

(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；

?UU＝?；?U?＝U；

?U(?UA)＝A；

A∪?UA＝U；

A∩?UA＝?

A?B??UB??UA．

13．知识拓展

(1)集合的分配律：A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)

(2)德·摩根定律：?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)[“交的补”等于“补的并”]；

?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)[“并的补”等于“补的交”]

德·摩根法则的理解如图：

(3)全集与补集各部分的韦恩图表示(如图)

(4)容斥定律(求集合元素的个数)：设有限集A的元素个数为card(A)，例如集合A＝{a，b，c}，则card(A)＝3；则在求集合元素个数时常用到以下公式及图形解释(如图)

①card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)

②card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)