数学课后导练：分析法.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课后导练

基础达标

1已知0〈b〈a,则，a-b,的大小顺序是()

A。〉a-b

B.〉a—b

C。〉a-b

D。a—b〉

解析:a,b分别取，

则a—b=-=,=,

=—=。

∴a-b

答案:B

2a,b,c是区间（0,1）内三个互不相等的实数，且p=logc,q=,r=logc，则p,q,r的大小关系是(）

A。p〈q〈rB。r〈pq

C。p〈rqD。rqp

解析:

q=logcab=logc，

r=logc,

∵a,b，c∈(0,1)，∴∈(0,1）.

∴〉(∵a≠b)。

又y=logcx在(0，+∞）上为减函数，

故logc〈logclogc,

即rp〈q。

答案:B

3已知a，b∈R+，则—与的大小关系是(）

A。—B。—≥

C.—≤D。与a，b大小有关

解析:要比较它们的大小，可比较（-)3与（)3的大小，

又（—)3=a-b-·+3··=a—b+3·(—）,

它与a-b的大小,取决于-的符号，

故—与的大小与a，b的大小有关。

也可用特值法，取a=8,b=1,

则-=1,=.

此时—。

若取a=1,b=8,则-=-1=.故选D.

答案：D

4a0且a≠1，P=loga(a3+1),Q=loga（a2+1)，则P，Q的大小关系是(）

A.PQB.PQ

C。a1，P〉Q;0a〈1,P〈QD。不能确定

解析：要比较P,Q的大小，需考虑底数的范围,以及真数的大小,为此我们分两类：

①a1时,a3+1a2+1，

而y=logax在(0,+∞)上为增函数。

∴loga(a3+1)〉loga(a2+1)。

②0〈a〈1时,a3+1〈a2+1.

这时y=logax在（0,+∞）上为减函数.

∴loga(a3+1)〉loga（a2+1）.

综合①②知,PQ.

答案:B

5若α，β是锐角,P=sin2α+sin2β，Q=2（sinα+sinβ—1)，R=2sinα+3sinβ—3,则有（）

A.P〉Q〉RB。Q〉RP

C.R〉QPD。P〉RQ

解析:由选项分析可知P，Q，R的大小是确定的，我们可用特值法求解.令α=，β=,

则P=+=1,

Q=2（+—1）=-1，

R=2×+3×-3=—。

∴PQR.

答案:A

综合应用

6若n为正整数，则与的大小关系是_______________。

解析：只需比较它们的平方的大小即可.

设a=（）2=4(n+1),

b=(+）2=4n++4,

则b〉a。

从而〈+。

答案:〈+

7已知α是锐角，若，则a,b，c的大小关系是(）

A.a≤b≤cB。b≤a≤c

C。b≤c≤aD.c≤b≤a

解析:a=≥=b，

c==b，

故a≥b≥c.

答案:D

8已知0a〈b1,那么logab,logba，b,a的大小关系是____________________-.

解析：∵0ab1,∴logba0且logba〉logbb=1=logaa〉logab0。①

又logb，a〈0,且logb〉loga=—1，loga〈logb=-1，

∴0logbloga。②

由①②知，

logbalogablogb〉loga。

答案：logbalogablogb〉loga

9设f(x）=,

（1）求f(x）的最大值;

（2）证明对任意的实数a，b恒有f(a)〈b2-3b+。

(1）解析：f(x）=.

∴f（x)的最大值为.（当2x=,即x=时“=成立)。

（2）证明：b2-3b+=(b—）2+3，

当b=时,b2-3b+的最小值为3。

而f(a）的最大值为.

∴f（a)〈b2—3b+对一切的a,b恒成立。

拓展探究

10已知a,b0，2ca+b,求证:

（1）c2〉ab;

（2）c-ac+。

证明:（1)∵2ca+b，a，b0，

∴4c2(a+b)2=a2+b2+2ab≥4ab，

∴c2ab。

（2)要证c—〈ac+,需证—a—c，

于是证｜a—c|〈

(a—c）2c2-ab

2ac〉a2+ab，

又a0,

即证2c〉a+b,而这就是已知条件，∴原不等式成立。

备选习题

11已知x，y∈R,且|x|1,｜y|1，

求证：.

证法一:（分