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江苏省2024届高考数学模拟试题(二)
一、单选题
1.已知集合,,则下列关系一定正确的是(????)
A. B.
C. D.
2.已知数列是公差为d的等差数列,对正整数m,n,p,若,则是的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
3.已知复数z满足(其中i为虚数单位),且z的虚部为,则(????)
A. B.
C. D.
4.如图,高速服务区停车场某片区有A至H共8个停车位每个车位只停一辆车,有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车,则两辆黑色车停在同一列的条件下,两辆白色车也停在同一列的概率为(????)
A
B
C
D
E
F
G
H
A. B. C. D.
5.如图,已知二面角的平面角为,棱上有不同两点,,,,.若,则过四点的球的表面积为(????)
??
A. B. C. D.
6.已知,,则(????)
A. B. C. D.
7.已知为椭圆与双曲线公共的焦点,且在第一象限内的交点为P,若的离心率满足,则(????)
A. B. C. D.
8.已知点在曲线上运动,过作以为圆心,1为半径的圆的两条切线,则的值可能是(????)
A. B. C.4 D.5
二、多选题
9.下列说法正确的是(????)
A.若随机变量,则
B.若经验回归方程中的,则变量与正相关
C.若随机变量,且,则
D.若事件与为互斥事件,则的对立事件与的对立事件一定互斥
10.已知函数,则以下结论正确的是(????)
A.为的一个周期
B.在上有2个零点
C.在处取得极小值
D.对,,
11.已知定义在上的函数为奇函数,且对,都有,定义在上的函数为的导函数,则以下结论一定正确的是(????)
A.为奇函数 B.
C. D.为偶函数
三、填空题
12.小明上学要经过两个有红绿灯的路口,已知小明在第一个路口遇到红灯的概率为,若他在第一个路口遇到红灯,第二个路口没有遇到红灯的概率为,在第一个路口没有遇到红灯,第二个路口遇到红灯的概率为,则小明在第二个路口遇到红灯的概率为.
13.已知,若,则的最大值为.
14.已知抛物线的焦点为,直线与抛物线相切于点(异于坐标原点,与轴交于点,若,,则;向量与的夹角为.
四、解答题
15.某设备由相互独立的甲?乙两个部件组成,若两个部件同时出现故障,则设备停止运转;若有且只有一个部件出现故障,则设备出现异常.在一个生产周期内,甲部件出现故障的概率为,乙部件出现故障的概率为.甲部件出现故障,检修费用为3千元;乙部件出现故障,检修费用为2千元,在一个生产周期内,甲?乙两个部件至多各出现一次故障.
(1)试估算一个生产周期内的平均检修费用;
(2)求在设备出现异常的情况下,甲部件出现故障的概率.
16.已知等差数列和等差数列的前项和分别为,,,.
(1)求数列和数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
17.在五棱锥中,,,平面平面.
??
(1)求证:;
(2)若,且直线与平面所成角的正弦值为,求的值.
18.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左,右顶点和坐标原点,点为椭圆上异于的一动点,面积的最大值为.
(1)求的方程;
(2)过椭圆的右焦点的直线与交于两点,记的面积为,过线段的中点作直线的垂线,垂足为,设直线的斜率分别为.
①求的取值范围;
②求证:为定值.
19.若时,函数取得极大值或极小值,则称为函数的极值点.已知函数,其中为正实数.
(1)若函数有极值点,求的取值范围;
(2)当和的几何平均数为,算术平均数为.
①判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系,并加以证明;
②当时,证明:.
参考答案:
1.C
【分析】由并集运算和集合的包含关系,分析集合B中的元素,结合选项即可判断.
【详解】因为集合,,
则集合B一定含有2,3,可能含有0,1,
对比选项可知,只有C正确.
故选:C.
2.D
【分析】利用等差数列的性质和通项公式,结合充分、必要条件的定义即可判断.
【详解】因为数列是公差为d的等差数列,若,等价于,
等价于,等价于,
所以是的充要条件.
故选:D.
3.B
【分析】利用复数的模的运算法则、求得,由复数的模计算公式,即可计算答案.
【详解】由,有,即,
由的虚部为,设,则有,
解得,则.
故选:B
4.A
【分析】设事件“两辆黑色车停在同一列”,事件“两辆白色车停在同一列”,根据条件概率公式,即可求解.
【详解】设事件“两辆黑色车停在同一列”,事件“两辆白色车停在同一列”,
则所求概率为,
因为,,
所以,
故选:A
5.B
【分析】根据垂直关系可得是二面角的一个平面角,过作平面的垂线和平面的垂线,得交点为外接球球心,利用勾股定理即可求出,由表面积公式即可求解.
【详解】因为
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