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《函数的概念》教学设计

教学设计

一、情境导入

初中是用变量的观点和解析式来描述函数的，虽然这种定义较为直观，但未完全揭示函数的本质.例如，对于是不是函数，如果用运动变化的观点去看，就不好解释，但如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然，因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函数的再认识，很有必要.

发射炮弹的高度与时间的关系，行驶的汽车跑过的路程与时间的关系，它们之间有一种什么样的关系呢？怎样用数学语言把它们的共性刻画出来？

提示：它们之间是一种函数关系，可以用两个非空实数集合中的变量与之间的对应关系来表示.

二、新课探究

问题：初中学习过哪些函数？

学生分组讨论，总结，体会数形结合思想的运用.

提示：正比例函数，

反比例函数，

一次函数，

二次函数.

教师引导学生阅读教材第85页“情境与问题”并思考以下问题：

（1）在“国家统计局的课题组公布的中国创新指数”中，中国创新指数的取值是年度值的函数吗？如果是，这个函数用数学符号怎样表示？

（2）在“利用医疗仪器测量心脏各时刻的指标值”中，测量指标值是测量时间的函数吗？如果是，这个函数用数学符号怎样表示？

学生学习并分组讨论函数的概念：一般地，给定两个非空实数集与，以及对应关系，如果对于集合中的每一个实数，在集合中都有唯一确定的实数与对应，则称为定义在集合上的一个函数，记作，.其中称为自变量，称为因变量，自变量取值的范围（即数集）称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合称为函数的值域.

思考：有人认为“”表示的是“等于与的乘积”，这种看法对吗？

提示：这种看法不对.符号是“是的函数”的数学表示，应理解为是自变量，它是关系所施加的对象；是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图像、表格，也可以是文字描述；是因变量，当允许取某一具体值时，相应的值为与该自变量值对应的函数值.仅仅是函数符号，不表示“等于与的乘积”.在研究函数时，除用符号表示函数外，还常用，，等来表示函数.

思考：与有何区别与联系？

提示：与既有区别又有联系，表示当自变量时函数的值，是一个常量.

思考：在函数的解析式表示中，自变量与因变量用什么字母来表示有区别吗？

提示：没有.

思考：什么样的函数表示同一函数？

提示：如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，这两个函数表达式表示的就是同一个函数.

教师引导学生阅读教材第86页“拓展阅读”，使学生进一步理解函数的概念.

学生学习并分组讨论教材第87页例1.

思考：函数的定义域指的是什么？

提示：函数的定义域就是使得函数有意义的所有实数组成的集合.

思考：表示函数时，定义域可以不写出吗？

提示：在表示函数时，如果不产生歧义，函数的定义域通常省略不写.

例1求下列函数的定义域：

（1）；

（2）.

解：（1）因为函数有意义当且仅当解得，所以函数的定义域为.

（2）因为函数有意义当且仅当解得且，所以函数的定义域为.

想一想：求函数的定义域应注意什么？

提示：函数表达式中有分母时，必须保证自变量的取值使得分母不为零；函数表达式中有二次根式时，必须保证自变量的取值使得根式有意义，即二次根式中的被开方数要大于或等于零.

想一想：有没有定义域是的函数？请举例.

提示：有.例如，正比例函数：；一次函数：；二次函数等.

想一想：函数的定义域能用不等式表示吗？

提示：不能，函数的定义域一定要用集合或区间表示.

学生学习并分组讨论教材第88页例2.

例2设函数的值域为，分别判断和3是否是中的元素.

解：由于恒成立，

所以无解，因此.

当时，解得，即，所以.

想一想：函数的值域指的是什么？

提示：函数的值域是函数值的集合.

想一想：函数的值域与定义域有何关系？

提示：对于函数，给一个使得有意义的的值，有唯一一个实数与之对应，实数的集合叫函数的定义域，实数的集合叫函数的值域.

学生学习并分组讨论教材第88页例3.

例3已知.

（1）求，和；

（2）求函数的值域.

解：（1）由已知得，

，.

（2）方法一：因为，所以恒成立，从而可知.又因为当的绝对值逐渐变大时，函数值会逐渐接近于0，但不会等于0，因此所求函数的值域为.

方法二：假设是所求函数的值域中的元素，则关于的方程应该有解，即应该有解，从而，即，解得，因此所求函数的值域为.

想一想：已知的表达式，如何求函数的值？

提示：已知的表达式时，只需用替换表达式中的即得的值.

想一想：函数的值域如何表示？

提示：函数的值域用集合或区间表示.

想一想：解答例3用到哪些知识？

提示：（1）用到，恒成立，这是一个常用的结论，应熟记.

（2）用到不等式的性质.

（3）用到极限思想.

（4）用到分式不等式的解法.

三、课堂练习

教材第93页练习A第1，2，4，5（1）题.

四、课堂小结

1.本节学习的数学知识：函数的概念，函数的定义域、值