1.2 充要条件（讲）（解析版）.docx

1.2充要条件

1．充分条件和必要条件的概念

(1)如果p?q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)如果p?q，且q?p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p?q．

(3)如果p?q，但qeq\a\vs4\al()p，那么称p是q的充分不必要条件．

(4)如果peq\a\vs4\al()q，但q?p，那么称p是q的必要不充分条件．

(5)如果peq\a\vs4\al()q，且qeq\a\vs4\al()p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．

2．充分条件和必要条件与集合的关系

设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}

若p是q的充分不必要条件

则AB

若p是q的必要不充分条件

则BA

若p是q的充要条件

则A＝B

若p是q的既不充分也不必要条件

则AB之间没有子集关系

3．充要条件的传递性

(1)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，即pq，qr，则有pr，即p是r的充要条件．

(2)若p是q的充要条件，即pq，则有qp，即q是p的充要条件．

一、充分、必要条件的判断

【典例1】“”是“”的（???????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若，则，若，当时，，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.

【典例2】已知且，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】“”时，若，则，不能得到“”，“”时，若，则，不能得到“”，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D.

【典例3】设，则“”是“”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若，则必有，故是充分的，若，则或，故不必要．因此应是充分不必要条件．故选：A．

【典例4】设则“”是“”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】解绝对值不等式可得，即，将分式不等式变形可得，解得，因为，所以“”是“”的必要而不充分条件，故选：B.

1、已知，则“”是“”的（????）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【解析】由得或，∴“”是“”的必要非充分条件，故选：B．

2、若，都是实数，则“”是“”的（???????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】若，则，可得，所以，可得，故充分性成立，取，，满足，但，无意义得不出，故必要性不成立，所以是的充分不必要条件，故选：A.

3、设，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.

故选：A.

4、设，则“”是“”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】，解得或，故“”推不出“”，反之“”可得出“”，故“”是“”的必要而不充分条件.故选：B.

二、充分条件和必要条件与集合的关系

【典例1】设，已知两个非空集合，，满足，则下列说法正确的是（????）

A．“”是“”的充分条件

B．“”是“”的必要条件

C．“”是“”的充要条件

D．“”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件

【答案】A

【解析】解：因为，非空集合，满足，所以是的子集，即，

所以是的充分条件，故选：A.

【典例2】设集合，集合．若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围；

【答案】

【解析】解：若“”是“”的必要条件，则，，

①当时，，此时，即；

②当时，，有成立；

∴综上所述，所求的取值范围是．

【典例3】已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为.

【答案】

【解析】是的必要条件，，，解得：，

即的取值范围为，故答案为：.

【典例4】已知集合，.若的充分非必要条件为，求实数的取值范围.

【答案】或．

【解析】由已知，

的充分非必要条件为，则是的真子集．当即时，满足题意，

当时，由题意，等号不同时取得，解得，

综上的取值范围是或．

1、集合，的关系如图所示，则是的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由韦恩图知：，∴是的充分不必要条件，故选：A.

2、已知集合，且，若是的充分条件，求实数的取值范围.

【答案】

【解析】解：由题知得，所以