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考虑裂纹的吊钩最大载荷的有限元研究

任彦婷

北京宇航系统工程研究所

摘要：本文利用断裂力学知识获得问题的解析解，得到最大载荷的理论值为23.114kN。利

用有限元法，得出最大载荷为24.100kN（材料为弹性体）和23.900kN（材料为理想弹塑性

体）。比较了在有限元解中，材料为线弹性和理想弹塑性两种情形的区别，指出理想弹塑性

材料屈服后变软，所以对应的最大载荷比线弹性对应的小；两种材料对于小范围屈服都适用

的。有限元解和解析解的结果较为接近，但是解析解偏保守，在文中给出了相应讨论。

关键词：裂纹，最大载荷，有限元

1引言

断裂力学中的裂纹是指宏观的、肉眼可见的裂纹[2]。工程材料中的各种缺陷可近似地看

作裂纹。断裂力学的基本研究包括：裂纹的起裂条件；裂纹在外部载荷或其他因素下的扩展

过程；裂纹扩展到什么程度会发生断裂。该学科是研究含裂纹构件强度与寿命的一门固体力

学的新分支，结构损伤容限设计的理论基础。

随着航天工业等的发展出现了超高强度的材料，对于这种材料，传统的强度设计已经不

能满足要求，传统的强度理论把材料和结构看成是没有裂纹的整体。实际的材料和结构中存

在裂纹，如果材料强度低，裂纹的存在对结构安全的影响通常并不明显，由于在设计中采用

了一定的安全系数，设计也就能够满足工程需要。弹对于高强度材料或者处于某些条件下的

材料，裂纹的存在会使情况发生根本变化，这就必须考虑材料对裂纹扩展的抵抗能力，为此

引进了材料的断裂韧性这一力学概念，并发展成为断裂力学。

本文针对存在裂纹的吊钩所能承受的最大载荷展开了讨论。结合解析解对有限元结构进

行了对比分析。

2断裂力学解析解

由于[1]~[4]:

1

22

????

5K559

?????

c3.8710,,,

????3?

macdB

????

2?21500

??

y

公式（1）

所以小范围屈服假设是适用的。

裂纹处的正应力为：

P

????公式（2）

2cB

M

式中?M为弯矩造成的正应力，由材料力学知识可以算得：

??

M

6M

??

2

B2c

公式（3）

和弯矩

M?Pd?c

??

公式（4）

在（2）式的基础上可以得到

P

Kf?af??a

???公式（5）

122M

cB

f、f2为含单边裂纹的有限尺寸体分别在受到均匀拉伸应力和线性分布拉伸应力作用

1

时的应力强度因子修正系数，经查阅资料可得（f2的计算见附录1）：

?a??5?

f1.122f1.122f1.1221.05671.18558

?????????

1

?c??30?

公式（6）

f2?1.048734182公式（7）

将（3）、（4）代入（5）可得：

6P?d?c?P

K?f?a?f?a

?122

2?2?

cBBc

Pa

?3?d?c?

??

????

ff

12

B2cc

??公式（8）

令

K??K?，得到

c

2

P

critical

?

BK2c

?c

3d?c

??

?aff

?

12

c

公式（9）

代入数据可以计算得到：

P

critical

?

BK2c

?c

?d?c?

?3

aff

?

12

c

2510591023010

??3??6???3

?

???

?

???3??

5101.185581.048734182???3??

325030

30

?23113.57N?23.114kN

公式（10）

即，临界载荷为23.114kN。

2.1应力强度因子KI的求法

对于Ⅰ型裂纹，有：

??

22

????

Klimvr,??????

?????

?1rr

0

公式（11）

式中?是剪切模量，v?r,??是与裂纹面垂直方向上的位移分量

?

??3??/?1??

??

，平面应力

??

?，平面应变，?是泊松比

3?4?

构造数据对?,?

rK?

ii

，其中

2?2?

K??v

i?i

?1r

i

公式（12）

r

i

是裂纹的一个表面（比如上表面）上的第i个节点在裂尖极坐标系中的径向坐标

值。

过最小二乘法拟合出应力强度因子，表达式为：

K

?

?

????

rrK?rK

2

ii?ii?i

?2?2

?r??Nr

ii

公式（13）

为此，需要编写一个程序，从有限元软件Abaqus