人教A版高中数学选修1-1课后习题 2.1.2 椭圆的简单几何性质.docVIP

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2.1.2椭圆的简单几何性质

课后篇巩固提升

基础巩固

1.若椭圆x2a2+

A.4 B.3

C.2 D.1

解析椭圆x2a2+y25=1(a5)的长轴长为6,则2a=6,即a=3,由于b2

则它的焦距为2c=4,故选A.

答案A

2.已知椭圆C的短轴长为6,离心率为45,则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为()

A.9

B.1

C.1或9

D.以上都不对

解析因为椭圆C的短轴长为6,所以b=3,

又因为离心率为e=ca=45,a2=b

所以a=5,c=4,

所以椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a+c=9或a-c=1,故选C.

答案C

3.已知椭圆中心在原点,一个焦点为(-3,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是()

A.x24+y

B.x2+y2

C.x23+y

D.x2+y2

解析∵一个焦点为(-3,0),

∴焦点在x轴上且c=3

∵长轴长是短轴长的2倍,

∴2a=2·2b,即a=2b,

∴(2b)2-b2=3.∴b2=1,a2=4,

故所求椭圆的标准方程为x24+y

答案A

4.已知椭圆y2a2+x2=1(a1)的离心率e=

A.32

C.5

解析由题意可得a2-1

所以椭圆的标准方程为y25+x

设椭圆上点的坐标为P(x,y),且-1≤x≤1,-5≤y≤5,则y2=5(1-x

故|PB|=(

=-4

当ax=5

答案C

5.曲线x225+

A.长轴长相等

B.短轴长相等

C.离心率相等

D.焦距相等

解析由于k9,所以两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆,且c2=25-9=(25-k)-(9-k)=16,所以两个椭圆的焦距相等,但长轴长、短轴长、离心率不一定相等.

答案D

6.设F1,F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,P为直线x=

A.12 B

C.34

解析由题意得|PF2|=|F1F2|,所以232a

答案C

7.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2,则椭圆长轴长的最小值为.?

解析由题意知,当椭圆上点在短轴端点时,三角形的面积取最大值,即有bc=2,

∴a2=b2+c2≥2bc=4(其中b0,c0),

∴a≥2,当且仅当b=c=2时取“=”.

∴2a≥4,即椭圆长轴长的最小值为4.

答案4

8.椭圆的一个焦点将长轴长分成3∶2两部分,则这个椭圆的离心率为.?

解析依题意有(a+c)∶(a-c)=3∶2,所以a=5c,故离心率为e=c

答案1

9.(1)已知椭圆C:x2a2+y

(2)已知椭圆C:x2a2+y2b2

解(1)由右焦点为(2,0),则c=2,又e=ca=63,所以a=3,b2=a2-c2=1,椭圆C的方程为

(2)由题意得1a2+34

10.已知椭圆x2

解由已知得c2=4-3=1,所以c=1,故F(1,0).

假设在椭圆上存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F与到直线(x,y)(-2≤x≤2),则(x-1

又由x24+y23=1,得y2=31-

A.(-6,6

B.-62,

C.-∞,-62∪62,+∞

D.-32,

解析由题意知,124+m221,解得m

故选B.

答案B

2.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点A距地面m千米,远地点B距离地面n千米,地球半径为k千米,则飞船运行轨道的短轴长为()

A.2(m+k

B.

C.mn

D.2mn

解析由题意可得a-c=m+k,a+c=n+k,故(a-c)·(a+c)=(m+k)(n+k).即a2-c2=b2=(m+k)(n+k),所以b=(m+k)(

答案A

3.17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明方程a2-x2=ky2(k0,k≠1,a≠0)表示椭圆,费马所依据的是椭圆的重要性质:若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A,B两点)引垂线,垂足为Q,则PQ

A.椭圆的离心率

B.椭圆离心率的平方

C.短轴长与长轴长的比

D.短轴长与长轴长比的平方

解析设椭圆方程为x2

PQ=b,AQ=BQ=a,则P

故选D.

答案D

4.已知以坐标原点为中心的椭圆,一个焦点的坐标为F(2,0),给出下列四个条件:①短半轴长为2;②长半轴长为22;③离心率为22;④一个顶点坐标为(2,0).其中可求得椭圆方程为x28

解析只需保证a=22,b=2,c=2即可,而椭圆的顶点坐标为(0,±2),(±22,0),故①②③可求得椭圆方程为x2

答案①②③

5.若分别过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点F1,F

解析设两直线的交点为M,令|MF1|=d1,|MF2|=d2.

由椭圆的定义,可得d1+d2=2a.

∵MF1⊥MF2,∴d12

∵(d1+d2)2=d12+