人教A版高中数学（选择性必修第二册）同步课时讲练4.3.2《等比数列的前n项和公式及应用》(教师版).doc

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4.3.2等比数列的前n项和公式

第1课时等比数列前n项和公式

学习目标

1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.

2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．

知识点一等比数列的前n项和公式

已知量

首项、公比与项数

首项、公比与末项

求和公式

Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1?1－qn?,1－q)?q≠1?，,na1?q＝1?))

Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1－anq,1－q)?q≠1?，,na1?q＝1?))

知识点二等比数列前n项和的性质

1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．

2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．

3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，eq\f(S偶,S奇)＝q；

②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－?－q?)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)．

1．等比数列前n项和Sn不可能为0.(×)

2．若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.(√)

3．若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an－1＝eq\f(1－an,1－a).(×)

4．若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．(√)

一、等比数列前n项和公式的基本运算

例1在等比数列{an}中，

(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；

(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq\f(5,4)，求S5；

(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q.

解(1)由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1?1＋q?＝30，,a1?1＋q＋q2?＝155，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝5，,q＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝180，,q＝－\f(5,6).))

从而Sn＝eq\f(1,4)×5n＋1－eq\f(5,4)或Sn＝eq\f(1080×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))n)),11).

(2)方法一由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q2＝10，,a1q3＋a1q5＝\f(5,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝8，,q＝\f(1,2)，))从而S5＝eq\f(a1?1－q5?,1－q)＝eq\f(31,2).

方法二由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝eq\f(1,8)，从而q＝eq\f(1,2).

又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，从而S5＝eq\f(a1?1－q5?,1－q)＝eq\f(31,2).

(3)因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根．

从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＝64))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝2，,a1＝64.))又Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)＝126，所以q＝2或eq\f(1,2).

反思感悟等比数列前n项和运算的技巧

(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．

(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，eq\f(a1,1－q)都可看作一个整体．

(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．

跟踪训练1在等比数列{an}中．

(1)若a1＝eq\r(2)，an＝16eq\r(2)，Sn＝11eq\r(2)，求n和q；

(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.

解(1)由Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)得，11eq\r(2)＝eq\f(\r(2