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第
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4.3.2等比数列的前n项和公式
第1课时等比数列前n项和公式
学习目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.
知识点一等比数列的前n项和公式
已知量
首项、公比与项数
首项、公比与末项
求和公式
Sn=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1?1-qn?,1-q)?q≠1?,,na1?q=1?))
Sn=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1-anq,1-q)?q≠1?,,na1?q=1?))
知识点二等比数列前n项和的性质
1.数列{an}为公比不为-1的等比数列(或公比为-1,且n不是偶数),Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍构成等比数列.
2.若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+qnSm(n,m∈N*).
3.若{an}是公比为q的等比数列,S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,则:①在其前2n项中,eq\f(S偶,S奇)=q;
②在其前2n+1项中,S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1=eq\f(a1+a2n+1q,1-?-q?)=eq\f(a1+a2n+2,1+q)(q≠-1).
1.等比数列前n项和Sn不可能为0.(×)
2.若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列,则其前n项和等于na.(√)
3.若a∈R,则1+a+a2+…+an-1=eq\f(1-an,1-a).(×)
4.若某数列的前n项和公式为Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0且q≠1,n∈N*),则此数列一定是等比数列.(√)
一、等比数列前n项和公式的基本运算
例1在等比数列{an}中,
(1)S2=30,S3=155,求Sn;
(2)a1+a3=10,a4+a6=eq\f(5,4),求S5;
(3)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求公比q.
解(1)由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1?1+q?=30,,a1?1+q+q2?=155,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=5,,q=5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=180,,q=-\f(5,6).))
从而Sn=eq\f(1,4)×5n+1-eq\f(5,4)或Sn=eq\f(1080×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(5,6)))n)),11).
(2)方法一由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1+a1q2=10,,a1q3+a1q5=\f(5,4),))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=8,,q=\f(1,2),))从而S5=eq\f(a1?1-q5?,1-q)=eq\f(31,2).
方法二由(a1+a3)q3=a4+a6,得q3=eq\f(1,8),从而q=eq\f(1,2).
又a1+a3=a1(1+q2)=10,所以a1=8,从而S5=eq\f(a1?1-q5?,1-q)=eq\f(31,2).
(3)因为a2an-1=a1an=128,所以a1,an是方程x2-66x+128=0的两个根.
从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=2,,an=64))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an=2,,a1=64.))又Sn=eq\f(a1-anq,1-q)=126,所以q=2或eq\f(1,2).
反思感悟等比数列前n项和运算的技巧
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共涉及五个量:a1,an,n,q,Sn,其中首项a1和公比q为基本量,且“知三求二”,常常列方程组来解答.
(2)对于基本量的计算,列方程组求解是基本方法,通常用约分或两式相除的方法进行消元,有时会用到整体代换,如qn,eq\f(a1,1-q)都可看作一个整体.
(3)在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.
跟踪训练1在等比数列{an}中.
(1)若a1=eq\r(2),an=16eq\r(2),Sn=11eq\r(2),求n和q;
(2)已知S4=1,S8=17,求an.
解(1)由Sn=eq\f(a1-anq,1-q)得,11eq\r(2)=eq\f(\r(2
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