人教A版高中数学（选择性必修第二册）同步课时讲练5.2《导数的运算》(原卷版).doc

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§5.2导数的运算

5.2.1基本初等函数的导数

学习目标

1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数.

2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．

知识点一几个常用函数的导数

原函数

导函数

f(x)＝c

f′(x)＝0

f(x)＝x

f′(x)＝1

f(x)＝x2

f′(x)＝2x

f(x)＝x3

f′(x)＝3x2

f(x)＝eq\f(1,x)

f′(x)＝－eq\f(1,x2)

f(x)＝eq\r(x)

f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))

知识点二基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f(x)＝c(c为常数)

f′(x)＝0

f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)

f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sinx

f′(x)＝cos?x

f(x)＝cosx

f′(x)＝－sin?x

f(x)＝ax(a0，且a≠1)

f′(x)＝axln?a

f(x)＝ex

f′(x)＝ex

f(x)＝logax(a0，且a≠1)

f′(x)＝eq\f(1,xlna)

f(x)＝lnx

f′(x)＝eq\f(1,x)

1．若y＝eq\r(2)，则y′＝eq\f(1,2)×2＝1.(×)

2．若f(x)＝eq\f(1,x3)，则f′(x)＝－eq\f(3,x4).(√)

3．若f(x)＝5x，则f′(x)＝5xlog5e.(×)

4．若y＝sin60°，则y′＝cos60°.(×)

一、利用导数公式求函数的导数

例1求下列函数的导数：

(1)y＝x0；(2)y＝(eq\f(1,3))x；(3)y＝lgx；(4)y＝eq\f(x2,\r(x))；(5)y＝2cos2eq\f(x,2)－1.

反思感悟

(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．

(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．

如y＝eq\f(1,x4)可以写成y＝x－4，y＝eq\r(5,x3)可以写成y＝等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．

(3)要特别注意“eq\f(1,x)与lnx”，“ax与logax”，“sinx与cosx”的导数区别．

跟踪训练1求下列函数的导数：

(1)y＝2020；(2)y＝eq\f(1,\r(3,x2))；(3)y＝4x；(4)y＝log3x.

二、利用导数研究曲线的切线方程

例2已知曲线y＝lnx，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程．

延伸探究

求曲线y＝lnx的过点O(0,0)的切线方程．

反思感悟

(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况

①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；

②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．

(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤

跟踪训练2(1)函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为()

A．y＝12x－16 B．y＝12x＋16

C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16

(2)已知曲线y＝lnx的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值．

利用导数公式求切点坐标问题

典例已知直线l:2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．

[素养提升]

(1)利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．

(2)结合图象，利用公式计算求解，体现了直观想象与数学运算的数学核心素养．

1．给出下列命题：

①y＝ln2，则y′＝eq\f(1,2)；②y＝eq\f(1,x2)，则y′|x＝3＝－eq\f(2,27)；

③y＝2x，则y′＝2xln2；④y＝log2x，则y′＝eq\f(1,xln2).

其中正确命题的个数为()

A．1B．2C．3D．4

2．已知f(x)＝eq\r(x)，则f′(8)等于()

A．0B．2eq\r(2)C.eq\f(\r(2),8)D．－1

3．(多选)下列结论正确的是()

A．若y＝3，则y′＝0B．