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第
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§5.2导数的运算
5.2.1基本初等函数的导数
学习目标
1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=eq\f(1,x),y=eq\r(x)的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
知识点一几个常用函数的导数
原函数
导函数
f(x)=c
f′(x)=0
f(x)=x
f′(x)=1
f(x)=x2
f′(x)=2x
f(x)=x3
f′(x)=3x2
f(x)=eq\f(1,x)
f′(x)=-eq\f(1,x2)
f(x)=eq\r(x)
f′(x)=eq\f(1,2\r(x))
知识点二基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f′(x)=0
f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)
f′(x)=αxα-1
f(x)=sinx
f′(x)=cos?x
f(x)=cosx
f′(x)=-sin?x
f(x)=ax(a0,且a≠1)
f′(x)=axln?a
f(x)=ex
f′(x)=ex
f(x)=logax(a0,且a≠1)
f′(x)=eq\f(1,xlna)
f(x)=lnx
f′(x)=eq\f(1,x)
1.若y=eq\r(2),则y′=eq\f(1,2)×2=1.(×)
2.若f(x)=eq\f(1,x3),则f′(x)=-eq\f(3,x4).(√)
3.若f(x)=5x,则f′(x)=5xlog5e.(×)
4.若y=sin60°,则y′=cos60°.(×)
一、利用导数公式求函数的导数
例1求下列函数的导数:
(1)y=x0;(2)y=(eq\f(1,3))x;(3)y=lgx;(4)y=eq\f(x2,\r(x));(5)y=2cos2eq\f(x,2)-1.
反思感悟
(1)若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求导.
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式,则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导,如根式要化成指数幂的形式求导.
如y=eq\f(1,x4)可以写成y=x-4,y=eq\r(5,x3)可以写成y=等,这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导,避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误.
(3)要特别注意“eq\f(1,x)与lnx”,“ax与logax”,“sinx与cosx”的导数区别.
跟踪训练1求下列函数的导数:
(1)y=2020;(2)y=eq\f(1,\r(3,x2));(3)y=4x;(4)y=log3x.
二、利用导数研究曲线的切线方程
例2已知曲线y=lnx,点P(e,1)是曲线上一点,求曲线在点P处的切线方程.
延伸探究
求曲线y=lnx的过点O(0,0)的切线方程.
反思感悟
(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数;
②若已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
跟踪训练2(1)函数y=x3在点(2,8)处的切线方程为()
A.y=12x-16 B.y=12x+16
C.y=-12x-16 D.y=-12x+16
(2)已知曲线y=lnx的一条切线方程为x-y+c=0,求c的值.
利用导数公式求切点坐标问题
典例已知直线l:2x-y+4=0与抛物线y=x2相交于A,B两点,O是坐标原点,试求与直线l平行的抛物线的切线方程,并在弧上求一点P,使△ABP的面积最大.
[素养提升]
(1)利用基本初等函数的求导公式,可求其图象在某一点P(x0,y0)处的切线方程,可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题,一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况,再利用导数的几何意义准确计算.
(2)结合图象,利用公式计算求解,体现了直观想象与数学运算的数学核心素养.
1.给出下列命题:
①y=ln2,则y′=eq\f(1,2);②y=eq\f(1,x2),则y′|x=3=-eq\f(2,27);
③y=2x,则y′=2xln2;④y=log2x,则y′=eq\f(1,xln2).
其中正确命题的个数为()
A.1B.2C.3D.4
2.已知f(x)=eq\r(x),则f′(8)等于()
A.0B.2eq\r(2)C.eq\f(\r(2),8)D.-1
3.(多选)下列结论正确的是()
A.若y=3,则y′=0B.
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