2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义专题16 基本不等式（教师版）.docxVIP

专题16基本不等式

【知识点梳理】

知识点一：基本不等式

1、对公式及的理解.

(1)成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；

(2)取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.

2、由公式和可以引申出常用的常用结论

①(同号)；

②(异号)；

③或

知识点诠释：可以变形为：，可以变形为：.

知识点二：基本不等式的证明

方法一：几何面积法

如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.

设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.

得到结论：如果，那么(当且仅当时取等号“=”)

特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：

如果，，则，(当且仅当时取等号“=”).

通常我们把上式写作：如果，，，(当且仅当时取等号“=”)

方法二：代数法

∵，

当时，；

当时，.

所以，(当且仅当时取等号“=”).

知识点诠释：

特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：

如果，，则，(当且仅当时取等号“=”).

通常我们把上式写作：

如果，，，(当且仅当时取等号“=”).

知识点三：基本不等式的几何意义

如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、.

易证，那么，即.

这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.

知识点诠释：

1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

知识点四：用基本不等式求最大(小)值

在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.

①一正：函数的解析式中，各项均为正数；

②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.

知识点诠释：

1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.

2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.

3、基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.

4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：

①各项都是正数；

②和(或积)为定值；

③各项能取得相等的值.

5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：

①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

③在定义域内，求出函数的最大或最小值；

④写出正确答案.

【题型归纳目录】

题型一：对基本不等式的理解及简单应用

题型二：利用基本不等式比较大小

题型三：利用基本不等式证明不等式

题型四：利用基本不等式求最值

题型五：利用基本不等式求解恒成立问题

题型六：基本不等式在实际问题中的应用

【典例例题】

题型一：对基本不等式的理解及简单应用

例1．(2023·上海静安·高一校考期中)给出下列命题中，真命题的个数为(????)

①已知，则成立；

②已知且，则成立；

③已知，则的最小值为2；

④已知，，则成立．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【解析】当时，①中的不等式是错误的，①错；

因为与同号，所以是正确的，且，即时等号成立，所以②中的基本不等式计算是正确的，②对；

(当时，无解，等号不成立)，故③错；

因为，所以且，且，即时等号成立，所以④中的基本不等式运算是正确的，④对．

故选:B．

例2．(2023·四川绵阳·高一校考开学考试)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为(???????)

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设，可得圆的半径为，

又由，

在中，可得，

因为，所以，当且仅当时取等号．

故选：D.

例3．(2023·高一课时练习)现有以下结论：

①函数的最小值是；

②若、且，则；

③的最小值是；

④函数的最小值为.

其中，正确的有(????)个

A． B． C．