2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义专题06 圆（教师版）.docxVIP

专题06圆

【知识点梳理】

知识点1：直线与圆的位置关系

设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？

图1

观察图1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线.

图2

在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有.

图3

当直线与圆相切时，如图3，为圆的切线，可得，，且在中，.

图4

如图4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而.

知识点2：点的轨迹

在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹.

我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：(1)图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；(2)图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.

下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.

从上面对圆的讨论，可以得出：

到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.

我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：

和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.

由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：

到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.

【题型归纳目录】

题型一：直线与圆的位置关系

题型二：点的轨迹

【典例例题】

题型一：直线与圆的位置关系

例1．(2023·安徽宿州·校考一模)如图，在中，，以为直径作，在上取一点，使，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点．

(1)求证：直线是的切线；

(2)若，，求的长．

【解析】(1)证明：连接，如图，

??

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，即半径，

∴是⊙O的切线；

(2)连接，交于点G，如图，

??

∵，，

∴，

∵O为为中点，

∴为中位线，

∴，，

∴，，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，，，

∴四边形是矩形，

∴，，

∴，

∴在中，．

例2．(2023·浙江湖州·模拟预测)如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F．

??

(1)求证：是的切线；

(2)若，求的值．

【解析】(1)如图1，连接，

??

∵平分，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∴，

∴

∵是的半径，

∴是的切线；

(2)连接，交于，

??

∵是的直径，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴是的中位线，

∴，

∴，

∵，

∴四边形是矩形，

∴，

∴，

∵，

∴．

例3．(2023·新疆喀什·统考三模)如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，于点D，延长交于点E，连接．

??

(1)求证：；

(2)若，，求的半径长．

【解析】(1)连接，如图所示：

??

∵，

∴，

∵，

∴，

∵是的切线，

∴，

∵，

∴，

∴；

(2)连接，如图所示：

??

∵为直径，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即的半径为．

变式1．(2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)如图，内接于，是的直径，过上的点作，交的延长线于点，交于点，过点作的切线交于点．

??

(1)求证：；

(2)若的半径为，，，求的长．

【解析】(1)证明：连接OB，

??

∵是的直径，

∴

∴

∴

∵BF与相切

∴，即

∴

∵，

∴，

∴；

(2)由(1)．

∴，

设，

∴

∴，

∵⊙O的半径为，

∴，

在中，

∴，

∴

∵

∴，

∴

又∵，

∴

在中，．

∴

变式2．(2023·河南商丘·统考三模)如图，中，，点为上一点，以点为圆心，以为半径的切于点，连接．

??

(1)求证：；

(2)若，，求的长．

【解析】(1)(1)证明：连接，

??

切于，

，

，

，

，

，

，

，

即；

(2)如图所示，设交于点，连接，

??

∵是直径，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∵，，，则，

∴，

∴．

变式3．(2023·广东珠海·珠海市紫荆中学校