2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义专题01 数与式的运算（教师版）.docxVIP

专题01数与式的运算

【知识点梳理】

知识点1：绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．

知识点2：乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式；

(2)完全平方公式．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式；

(2)立方差公式；

(3)三数和平方公式；

(4)两数和立方公式；

(5)两数差立方公式．

知识点3：二次根式

一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式．

(1)分母(子)有理化

把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化．为了进行分母(子)有理化，需要引入

有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

(2)二次根式的意义

知识点4：分式

(1)分式的意义

形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：

；

．

上述性质被称为分式的基本性质．

(2)繁分式

像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

【题型归纳目录】

题型一：绝对值

题型二：乘法公式

题型三：二次根式

题型四：分式

【典例例题】

题型一：绝对值

例1．(2023·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市中实学校校考期中)如果，那么_______

【答案】

【解析】∵

∴，，

解得:，，

∴，

故答案为:．

例2．(2023·福建龙岩·八年级统考期中)若，则___________．

【答案】

【解析】∵

∴，

∴，

∴．

故答案为：．

例3．(2023·上海静安·六年级上海市回民中学校考期中)比较大小：___________．

【答案】

【解析】，，

，

，

故答案为：．

变式1．(2023·天津东丽·八年级校联考期中)已知实数、满足，则的值为______．

【答案】

【解析】∵有理数x、y满足，

∴，，解得，，

∴．

故答案为：．

变式2．(2023·四川南充·七年级四川省南充高级中学校考阶段练习)已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：_____．

【答案】/

【解析】由题意得，，

∴，，

∴

．

故答案为：．

变式3．(2023·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第十七中学校校考期中)已知在数轴上A、B两点分别表示的数是a和b，，，，点Р在数轴上且与点A、点B的距离相等，则点Р表示的数是_________．

【答案】或

【解析】∵，，

∴，．

又∵，

∴，

∴．

∴，或，．

当，时，

∵点Р在数轴上且与点A、点B的距离相等，

∴点P表示的数为；

当，时，

∵点Р在数轴上且与点A、点B的距离相等，

∴点P表示的数为；

∴点P表示的数为或．

故答案为：或．

题型二：乘法公式

例4．(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模)下列运算正确的是(????)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】A、，故A不正确，不符合题意；

B、，故B不正确，不符合题意；

C、，故C正确，符合题意；

D、，故D不正确，不符合题意．

故选：C．

例5．(2023·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试)多项式A与的乘积含有项，那么A可能是(????)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】A．∵，

∴多项式与的乘积不含项，故A不符合题意；

B．∵，

∴多项式与的乘积不含项，故B不符合题意；

C．∵，

∴多项式与的乘积含有项，故C符合题意；

D．∵，

∴多项式与的乘积不含有项，故D不符合题意．

故选：C．

例6．(2023·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考开学考试)下列因式分解结果正确的是(????)

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】A、，故本选项因式分解结果正确；

B、，故本选项因式分解结果错误；

C、，故本选项因式分解结果错误；

D、不能分解因式，故本选项结果错误；

故选：A.

变式4．(2023·江苏泰州·统考二模)、为正整数，，则的值为(????)

A．2 B．3 C．4 D．5

【