4.2 利用导数求单调性（精讲）（原卷版）_1_1.docxVIP

4.2利用导数求单调性（精讲）

函数的单调性与导数的关系

一般地，设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内有导数，函数f(x)的单调性与其导函数f′(x)的正负之间具有如下关系：

①在某个区间(a，b)上，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，区间(a，b)为函数y＝f(x)的单调增区间；

②在某个区间(a，b)上，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，区间(a，b)为函数y＝f(x)的单调减区间．

③在某个区间(a，b)上，如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上为常函数．

易错点：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.

一．利用导数求函数单调区间的方法

法一：当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)0或f′(x)0求出单调区间；（无参函数）

确定函数单调区间的步骤

①确定函数f(x)的定义域．

②求f′(x)．

③解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

法二：当导函数方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间；

法三：若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f′(x)的结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．

易错点：若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”隔开．

二．根据函数单调性求参数的一般思路

法一：由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立，列出不等式；

法二：利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；

法三：对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0．若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则参数可取这个值．

法四：当函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题；当已知函数在某区间上不单调时，则转化为关于导函数的方程在该区间上有解问题．

含参函数单调性的分类讨论

1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．

2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．

3.讨论点一般有三类：①自变量系数a分eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0，,a＝0，,a0，))②判别式Δ分eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ0，,Δ＝0，,Δ0，))③两根的大小分eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1x2，,x1＝x2，,x1x2.))

四．单调性的应用

1．比较大小：若自变量不在同一单调区间内，则要利用函数的性质，将其转化到同一个单调区间上，再进行比较．

2．利用单调性比较大小或解不等式，关键是根据题意构造辅助函数，利用构造的函数的单调性比较大小或解不等式．

3．与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式．

五．易错点

1．在某区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．

2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．

注意：若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接．

考法一利用导数求函数的单调区间（无参）

【例1-1】（2023春·湖北）函数的单调递增区间是（????）

A． B． C． D．

【例1-2】（2023春湖南）函数的单调递增区间是（????）

A． B．???????????

C． D．

【一隅三反】

1．（2023春·河南）函数的单调递减区间为（????）

A． B．

C． D．

2．（2023春·吉林长春）函数的单调递增区间是（????）

A． B．

C． D．

3．（2023春·山东）若函数，则函数的单调递减区间为（????）．

A．， B．，

C． D．

考法二导函数图像判断原函数图像

【例2-1】（2023春·广东）已知函数的图象如图所示，则下列说法中错误的是（????）

??

A．在区间上单调递减

B．在区间上单调递增

C．当时，0

D．当时，=0

【例2-2】（2023·广西）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（????