4.5 函数的应用（二）（精讲）（原卷版）_1_1.docxVIP

4.5函数的应用（二）（精讲）

一．函数的零点

1.概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.

2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：

二.函数零点存在定理

1.条件：①如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)0.

2.结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.

3.零点存在定理注意事项

①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；

②f(a)·f(b)0.这两个条件缺一不可，否则结论不一定成立.

满足上述两个条件，则函数y＝f(x)的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数根c，但不能确定有几个，只有再借助于f(x)在(a，b)内的单调性才能确定f(x)在(a，b)内零点的个数.

三.二分法

1.定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤

给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤：

(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0；

(2)求区间(a，b)的中点c；

(3)计算f(c)，进一步确定零点所在的区间：

①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；

②若f(a)·f(c)0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；

③若f(c)·f(b)0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.

(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).

四．常见的函数模型

常用函数模型

(1)一次函数模型

y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)

(2)二次函数模型

y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

(3)指数函数模型

y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)

(4)对数函数模型

y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a0且a≠1)

(5)幂函数模型

y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)

(6)分段函数模型

y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）（xm），,g（x）（x≥m）))

一．求函数零点的两种方法

1.代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.

2.几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.

二．确定函数f(x)零点所在区间

1.解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.

2.利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0.若f(a)·f(b)0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.

3.数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

三．判断函数零点个数的常用方法

1.利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.

2.画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.

3.结合单调性，利用零点存在性定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数.

4.转化成两个函数图象的交点问题.

四．已知函数有零点(方根有根)求参数值

1.直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

2.分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

3.数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.

五．运用二分法求函数的零点应具备的条件

1.函数图象在零点附近连续不断.

2.在该零点左右函数值异号.

只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.

考点一函数的零点

【例1】（2023秋·高一课时练习）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点.

(1)；

(2)；

(3)；

(4)

【一隅三反】

1．（2023·陕西西安）函数的零点为（????）

A． B．2 C． D．

2．（2023秋·福建莆田）设函数，则方程的解集为.

3．（2023秋·高一课时练习）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1)；(2)；(3)；(4).

考点二零点的区间

【例2-1】（2023·全国·高一课堂例题）方程的根所在区间是（????）

A． B． C． D．

【例2-2】（2023秋·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）函数