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高中数学教学设计

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《向量基本定理》教学设计一

教学设计

一、创设情境，激发思考

问题1：今天我们来研究平面内任意一个向量如何表示的问题.

之前，我们学习了平面向量的线性运算，如果一个非零向量a与向量b共线，我们如何表示向量b呢？

【师生活动设计】教师提出问题，学生思考后回答，师生共同得出：共线向量基本定理：如果且，则存在唯一的实数，使得.

设计意图：通过复习平面向量共线，使学生明白两个向量共线的位置关系可以通过数乘向量来进行代数表示，而且表示的结果是唯一的，这为下面引出平面向量基本定理提供了研究问题的思路和方向.

问题2：在物理中，我们知道为求放置在斜坡上的木块受到的摩擦力，需要将重力分解.如下图所示，你能将受力分析的结果用向量表示出来吗？

力的分解是向量分解的物理模型，根据受力分析，我们可以通过作平行四边形将向量分解为两个向量与，这里向量是这两个向量的和，即.这引发我们思考，平面内的任意一个向量，能否用某些给定向量的代数和的形式来表示？如果可以，这样的向量需要几个？

【师生活动设计】教师提出问题，让学生思考，教师引导学生从力的分解过渡到向量的分解.如果学生能正确回答可以用两个向量表示平面内任意一个向量，就追问：这两个向量需要满足什么条件？引向问题3；如果学生没有反应或回答错误，就采用如下追问1和追问2.

追问1：我们之前学过向量的加法减法、数乘向量的运算，如果给定向量a，平面中任意一个向量b能否用向量a来表示？

追问2：已知平面内的两个非零向量a，b，请你作出向量.给你什么启发？

设计意图：通过力的分解的物理模型引出平面向量分解的平行四边形模型，让学生明确向量的分解是以平行四边形法则作为基本模型，并从运算与表示的角度为后续做铺垫，发展学生数学建模和数学抽象的核心素养.追问1和追问2的目的是引导学生理解表示平面内任意一个向量需要两个不共线的向量.

二、活动探究，发现规则

问题3：如图所示，给定两个不共线的向量a，b及同一平面内的向量c.将c沿着a，b的方向分解，你有什么发现？

【师生活动设计】学生动手作图，教师指名一名学生在黑板上作图展示.在学生作图的基础上，向学生强调先在同一始点O作，然后将向量c沿着a，b的方向分解.如果学生在作图上比较顺利，能够作图并表示，那么导向问题4；如果学生在作图上有困难，无法作图或者作图后无法用线性运算表示出来，则教师进入以下环节：

追问1：在物理中，我们将力根据需要进行分解，依据的是平行四边形法则，现在你可以运用平行四边形法则进行分解吗？

追问2：将向量c沿着向量a，b方向分解，分解后的向量和向量a，b是什么关系？这种关系如何表示？

设计意图：引导学生经历作图的过程并进行体会，使其学会将平面内的向量c，沿着a，b的方向分解，并用的形式表示出来，掌握向量平行四边形分解的方法，初步认识平面向量基本定理的图形表示与代数表示，实现从图形到代数表示的过渡，发展学生数学抽象的核心素养.

问题4：如果再给出平面内的另几个向量，还能用给定的两个不共线的非零向量来表示吗？

【师生活动设计】教师给出向量，呈现如下图所示的几种状态，让学生进行作图、表示、展示.

追问：如果g是零向量，可以用给定的两个不共线的非零向量来表示g吗？从这个探究过程中，你可以得到什么结论？

【师生活动设计】教师提问，请两位学生到黑板上画图，将结果表示出来并解释作图的关键.同时运用多媒体辅助手段，动态展示所给任一向量在不同情形下（含共线向量）如何通过构造平行四边形来表示.

设计意图：让学生体会平面内的任一向量，都可以用两个不共线的向量表示出来，突破“任意性”这个难点，发展学生逻辑推理的核心素养.

问题5：对于给定的向量c，可以用给定的两个不共线的向量表示为，那么这种表示的是唯一的吗？你可以给予证明吗？

【师生活动设计】引导学生从图形和代数两个角度解释原因，如果学生可以回答，则进入问题6，否则引导学生思考：表示的结果唯一，就意味着分解的唯一，从图形上看就是平行四边形的唯一，你能通过所学的几何知识来解释吗？

从代数上如何证明是唯一的呢？代数中要证明唯一性我们一般采用的方法是什么？如何证明？

设计意图：从几何和代数两个角度让学生认识表示结果的唯一性，发展学生直观想象和逻辑推理的核心素养.

三、抽象概括，阐述规则

问题6：你能把上述探究发现的结果，用数学的语言描述出来吗？

【师生活动设计】教师提问，学生回答，教师给予引导和纠正，共同得出平面向量基本定理：

如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对，使得

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平面向量基本定理是说，在给定的平面内，当向量a与b不共线时，