湖北省宜昌市远安县第一高级中学2023-2024学年高三3月数学试题.doc

湖北省宜昌市远安县第一高级中学2022-2023学年高三3月数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数，为的共轭复数，则（）

A． B． C． D．

2．已知正四面体的内切球体积为v，外接球的体积为V，则（）

A．4 B．8 C．9 D．27

3．设抛物线的焦点为F,抛物线C与圆交于M,N两点,若,则的面积为()

A． B． C． D．

4．过直线上一点作圆的两条切线，，，为切点，当直线，关于直线对称时，（）

A． B． C． D．

5．已知定义在上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为（）

A． B． C． D．

6．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是

A． B．

C． D．

7．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（）

A． B．复数的共轭复数是

C． D．

8．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为

A． B． C． D．

9．函数在内有且只有一个零点，则a的值为（）

A．3 B．－3 C．2 D．－2

10．已知点为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于A，B两点，若，则的面积为（）

A． B． C． D．

11．连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为，连接4个焦点的四边形的面积为，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

12．若复数满足（为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为____________.

14．设向量，，且，则_________.

15．已知关于的方程在区间上恰有两个解，则实数的取值范围是________

16．已知不等式的解集不是空集,则实数的取值范围是；若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是___

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知定点，，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线。

（1）求曲线的方程；

（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由。

18．（12分）某工厂生产一种产品的标准长度为，只要误差的绝对值不超过就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：

（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；

（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求.现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值.

19．（12分）如图，在四棱锥中，，，.

（1）证明：平面；

（2）若，，为线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.

20．（12分）设

（1）证明:当时，；

（2）当时，求整数的最大值.（参考数据：，）

21．（12分）已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）求；

（3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.

22．（10分）已知等差数列的公差，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

参考答案

一、