人教A版版高中数学选择性必修第二册课后习题 第五章 一元函数的导数及其应用 5.2.1 基本初等函数的导数.docVIP

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5.2导数的运算

5.2.1基本初等函数的导数

课后训练巩固提升

A组

1.若函数y=10x,则y|x=1等于()

A.110 B.10 C.10ln10 D.

解析:∵y=10xln10,∴y|x=1=10ln10.

答案:C

2.已知函数f(x)=xn(n∈Q,且n≠0),且f(-1)=-4,则n等于()

A.4 B.-4

C.5 D.-5

解析:∵f(x)=nxn-1,f(-1)=-4,

∴f(-1)=n(-1)n-1=-4.

若(-1)n-1=-1,则n=4,此时满足(-1)n-1=-1;

若(-1)n-1=1,则n=-4,此时不满足(-1)n-1=1.

∴n=4.

答案:A

3.已知曲线y=x3在某点处的切线的斜率等于3,则曲线在该点处的切线有()

A.1条 B.2条

C.3条 D.不确定

解析:由y=3x2=3,得x=±1,则切点有两个,故切线有2条.

答案:B

4.曲线y=ex在点A(0,1)处的切线斜率为()

A.1 B.2

C.e D.1

解析:由已知得y=ex.根据导数的几何意义,可得切线斜率k=y|x=0=e0=1.

答案:A

5.曲线y=f(x)=sinx在点(0,f(0))处的切线的倾斜角是()

A.π2 B.π3 C.π

解析:∵y=cosx,∴y|x=0=cos0=1.

设此切线的倾斜角为α,则tanα=1.

∵α∈[0,π),∴α=π4

答案:D

6.已知曲线y=1x

A.12,

C.-12

解析:由已知得y=-1x2.令-1x2=-4,得x=±

答案:B

7.在曲线y=1x2上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°,则点P的坐标为

解析:y=1x2=-2x-3,设点P(x0,y0),则-2x0-3=tan135°=-1,解得x0=2

故点P的坐标为(21

答案:(21

8.在曲线y=1x

解:由题意知,平行于直线x+2y-4=0的直线与曲线y=1x

设切点P(x0,y0),由y=-1x2,得y|x=

∵直线x+2y-4=0的斜率为-12

∴-1x02=-12,解得x0=2或x

∵x0,∴x0=-2,从而y0=-12=-2

∴点P的坐标为-2

B组

1.若函数f(x)=logax(a0,且a≠1)的图象与直线y=13

A.ee2 B.e3e

解析:设切点坐标为(x0,y0).由f(x)=logax(a0,且a≠1),得f(x)=1xlna

根据题意有y0=13x

故选B.

答案:B

2.(多选题)直线y=12

A.f(x)=1x B.f(x)=x

C.f(x)=sinx D.f(x)=ex

解析:A中,f(x)=1x,故f(x)=-1x2,令-1x2=12,无解,故A不符合;B中,f(x)=x4,故f(x)=4x3,令4x3=12,得x=12,即曲线在点12,116处的切线方程为y=12x-316,B符合;C中,f(x)=sinx,故f(x)=cosx,令cosx=12,取x=π3,故曲线在点π3,3

答案:BCD

3.若直线y=12x+b是曲线y=lnx(x0)的一条切线,则实数b=

解析:设切点坐标为(x0,y0),则y0=lnx0.

∵y=(lnx)=1x,∴y|

由题意知1x0=12,∴

由ln2=12

答案:ln2-1

4.已知函数f(x)=a2(a为常数),g(x)=lnx,若2x[f(x)+1]-g(x)=1,则x=.?

解析:因为f(x)=0,g(x)=1x

所以2x[f(x)+1]-g(x)=2x-1x

解得x=1或x=-12

答案:1

5.若曲线y=x在点P(a,a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a的值是.?

解析:由题意可得y=12

则切线方程为y-a=

令x=0,得y=a2

由题意知a0,12

答案:4

6.已知坐标平面上的抛物线C:y=x2,点(a,a2),抛物线C在点(a,a2)处的切线为直线l,则直线l与y轴的交点Q的坐标为.?

解析:显然点(a,a2)在抛物线C:y=x2上.

∵y=2x,∴y|x=a=2a.

∴直线l的方程为y-a2=2a(x-a).

令x=0,得y=-a2,

∴直线l与y轴的交点Q的坐标为(0,-a2).

答案:(0,-a2)

7.设曲线y=f(x)=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+…+a99的值为.?

解析:∵f(x)=xn+1(n∈N*),

∴f(1)=n+1,∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y=(n+1)(x-1)+1.

令y=0,得xn=nn+1,∴an

∴a1+a2+…+a99=lg