《实际问题中二次函数的最值问题》教学设计.pdfVIP

《实际问题中二次函数的最值问题》教学设

计

一、教学目标

1.知识技能

（1）能运用二次函数的顶点式解决实际问题中的最大值问

题，并能利用函数的图象与性质进行解题。

（2）理解函数图象顶点、端点与最值的关系

（3）掌握顶点的横坐标不在自变量取值范围内的二次函数

最值的图象解法。

2.过程方法

（1）通过对生活实际问题的研究，体会数学知识的现实意

义，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题

中的最值问题。

（2）通过对二次函数最值的训练，渗透转化的数学思想；

通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，培养数形结合思

想，函数思想，分类讨论思想。

3.情感态度

（1）感受数学来源于生活，并应用于生活实际；

（2）通过同学之间的合作与交流，让学生积累经验，发展

学习动力。

二、教学重点

1、实际问题中自变量取值范围的确定；

2、对函数图象的端点、顶点与最值关系的理解与应用。

三、教学难点

对称轴不在自变量取值范围内的二次函数的最值的求法。

四、教学环节

（一）复习回顾，巩固要点

已知二次函数，当x=时,函数有最值，

最值为.

（二）设置条件，平稳过渡

若自变量的取值范围有具体的限制呢？

已知二次函数，试问：

若－4≤x≤1，该函数的最大值、最小值分别为（）、（）。

又若-1≤x≤1，该函数的最大值、最小值分别为（）、（）。

（三）归纳总结，理论升华

（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点

处取最大值或最小值。

（2）如果自变量的取值范围不是全体实数，要根据具体范

围加以分析，结合函数图象的同时利用函数的增减性分析题

意，求出函数的最大值或最小值。

（3）当给出了一般形式的二次函数后，我们常常通过配方

化成顶点式，再来求最值问题。

（四）学以致用，激发兴趣

心理学家发现，初中生对概念的接受能力y与提出概念所用

的时间x（分）之间满足函数关系：（0≤x≤30）。

y值越大，表示接受能力越强．

（1）当x取范围为时，学生接受能力逐步增加；

当x取范围为时，学生接受能力逐步下降。

（2）在第分钟时，学生的接受能力最强，最强为。

例1.现在要用长为6米的铝合金制成如图窗框，请问窗框的

长、宽各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多

少？

分析：设窗框的宽为x米，则长为()米，又令窗户的透光

面积为y平方米，可得：,即本题就是求二次函数的最值问

题，由于本题是一道具有实际问题的函数题，应考虑自变量

的取值范围，并在自变量的取值范围内求出二次函数的最值

问题。

图1

例2（2018年福建省中考数学试题）.如图2，在足够大的空

地上有一段长为a的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个

矩形菜园ABCD,其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另

三边一共用了100米木栏。

（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求

所利用旧墙AD的长；

（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值。

分析：设AD的长为x米，则AB的长为米，结合方程的思

想求出AD的长，同时，借助函数思想和分类讨论思想解决

面积的最大值。

图2

（五）总结反思

指导学生对本节课进行总结，强调运用二次函数的性质求实

际问题最值，需注意什么?

1．如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处

取最大值或最小值。

2．如果自变量的取值范围不是全体实数，根据自变量的实

际意义，确定自变量的取值范围，再根据具体范围加以分析，

结合函数图象的同时利用函数的增减性分析题意，求出函数

的最大值或最小值。

（六）作业布置

1.必做题：P20练习2和3

2.思考题：某公司从第1年到第x年的营业收入累计为y万

元，且y=6x2+1．

（1）问该公司从第1年到第4年的营业收入累计为多少万

元？

（2）该公司平均年支出z（万元）与营业年数x（年）的函

数关系式为z=kx+b（k，b为常数，k≠0），若营业1年支出

16万元，营业3年的平均年支出为24万元．

求k与b的值；

设该公司营业以来获得的总利润