湖南省常宁一中2024年高三1月份统一考试（数学试题理）试卷.doc

湖南省常宁一中2023年高三1月份统一考试（数学试题理）试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．四人并排坐在连号的四个座位上，其中与不相邻的所有不同的坐法种数是（）

A．12 B．16 C．20 D．8

2．若直线l不平行于平面α，且l?α，则（）

A．α内所有直线与l异面

B．α内只存在有限条直线与l共面

C．α内存在唯一的直线与l平行

D．α内存在无数条直线与l相交

3．已知单位向量，的夹角为，若向量，，且，则（）

A．2 B．2 C．4 D．6

4．双曲线x26-y23=1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝

A．3 B．2

C．3 D．6

5．已知的垂心为，且是的中点，则（）

A．14 B．12 C．10 D．8

6．已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（）

A． B． C． D．

7．已知函数，，若对任意的总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（）

A．1 B． C． D．

8．向量，，且，则（）

A． B． C． D．

9．已知i是虚数单位，则1+ii

A．-12+32i

10．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）

A． B．1 C． D．

11．将函数图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于直线对称，则函数在上的值域是（）

A． B． C． D．

12．已知，，，则的最小值为（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设（其中为自然对数的底数），，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为________.

14．已知三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积是________.

15．已知圆，直线与圆交于两点，，若，则弦的长度的最大值为___________.

16．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数

为______________.(用数字作答)

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为.

（1）求实数的值及函数的单调区间；

（2）设函数，证明时，.

18．（12分）已知函数.

（1）解不等式；

（2）使得，求实数的取值范围.

19．（12分）设数列的前n项和满足，，，

（1）证明：数列是等差数列，并求其通项公式﹔

（2）设，求证：.

20．（12分）已知函数，其中e为自然对数的底数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）用表示中较大者，记函数.若函数在上恰有2个零点，求实数a的取值范围.

21．（12分）已知满足，且，求的值及的面积.（从①，②，③这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）

22．（10分）已知，，设函数，.

（1）若，求不等式的解集；

（2）若函数的最小值为1，证明：.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A

【解析】

先将除A，B以外的两人先排，再将A，B在3个空位置里进行插空，再相乘得答案.

【详解】

先将除A，B以外的两人先排，有种；再将A，B在3个空位置里进行插空，有种，所以共有种.

故选：A

【点睛】

本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题.

2．D

【解析】

通过条件判断直线l与平面α相交，于是可以判断ABCD的正误.

【详解】

根据直线l不平行于平面α，且l?α可知直线l与平面α相交，于是ABC错误，故选D.

【点睛】

本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.

3．C

【解析】

根据列方程，由此求得的值，进而求得.

【详解】

由于，所以，即

，

解得.

所以

所以

.

故选：C