高二数学“求解无棱二面角大小”的解题方法.docVIP

高二数学“求解无棱二面角大小”的解题方法

高二数学“求解无棱二面角大小”的解题方法

高二数学“求解无棱二面角大小”的解题方法

高二数学“求解无棱二面角大小”得解题方法

高二数学“求解无棱二面角大小得解题方法

?求解无棱二面角得大小思维活、方法多,是高考得热点,同时也是难点问题之一，现在用一个高考例题来系统疏理和归纳。

?例题：(20１9高考全国卷第1６题）已知如右图，点E，F分别在正方体ＡBCD-A1Ｂ１C１D1得棱BB1,CC1上，且B１Ｅ＝2EB，ＣF=2ＦC1,则平面ＡEＦ与平面ABＣ所成二面角得正切值等于__＿_。

?对策一：利用空间向量求解

解法1(利用空间坐标系求解）分别以DＡ，DC，DD１为ｘ，y,z轴得正半轴，建立空间直角坐标D-xyz，得Ａ（１，0，0）,E1，１，，Ｆ０，1,，从而＝0,1，,=-1，1,、设平面AEF得法向量为ｍ=（ｘ,ｙ，z)，由m？=0，ｍ?=0,得y＋ｚ=0，－x+y+z=0、取z＝3,得ｍ=（-１,—1,3）,故m=。

又平面ＡBC得法向量为=（0,０,1)，所以由cos〈，m==，可得ｓin，m＝=,从而ｔan〈，m〉=、故平面AEF与平面ABＣ所成二面角得正切值等于。

点评用空间直角坐标系求解时，找(作)两两垂直得三线建立适当得空间直角坐标系是关键、

?解法2(利用空间基向量求解)由题意，=＋，=＋=++。设平面AEF得法向量为n＝x+y+ｚ，由ｎ？＝0，n?=0，得(x+y+ｚ)？(＋）=0，（ｘ＋y+z）?(+＋）=0，把相关量代入化简，得x+ｚ=０，x+y+ｚ＝0。取z＝3,解得x＝ｙ＝—1,从而n＝

?－—+3，不难求得ｎ=、

?又平面ＡBＣ得法向量为，故n？=（－-+３）？＝3，所以ｃos〈，ｎ〉==,从而ｓin,n〉==,tan〈，n〉=。故平面ＡEF与平面ＡＢC所成二面角得正切值等于。

点评面对丰富得几何条件，尤其是每个顶点处得向量都容易表示两两夹角及线段得长度也容易求出，利用空间几何向量求解是最易操作得。虽然对于填空或选择题来说,这样也许会费时费力、小题大做，可这是一种万全之策、

对策二:利用公式ｃoｓtheta；=求解,其中S是二面角得一个半平面中得一个封闭图形得面积，S＆ｐｒiｍe；是S在另一个半平面上得射影得面积

解法3由正方体得性质,可知△AEF在平面AＢＣD上得射影为△AＢC、设正方体得棱长为1，在Rt△ACF中，ＡF=＝＝；在Rt△ABＥ中,AE===。取线段CＦ得中点为点M，则在Ｒt△ＥＭF中,求得ＥF=；取线段ＡF得中点为点N,则在Rt△ANＥ中，EN===、

由此得S△AＥF=AＦ？EＮ=＆tiｍeｓ；＆tiｍes；=,S△AＢC=AB？BC=，得cos＆ｔｈetａ；==，sinthetａ；＝=，从而taｎ＆tｈetａ；=＝、故平面AEF与平面ABC所成二面角得正切值等于。

?点评利用面积射影法间接求二面角大小，可避免找二面角得棱及作二面角得平面角双重麻烦，使求解过程更简便。

?对策三:利用两个半平面垂线求解

?解法4过点Ｃ作ＣHperp;AF垂足为点H，取线段AF得中点为点Ｎ,连结ＮO，则NO＆pｅrｐ;OB,而OBｐeｒp;平面ACF，所以NEperｐ；平面ACF、从而ＣHｐｅｒｐ;EN、又ＣHperp；AF，所以ＣHpeｒp；平面AEＦ。又CF＆perp；平面ＡBCD，从而可得二面角得两个半平面得垂线CH,CＦ得夹角为＆aｎｇ；ＦCH，该角和平面ＡＥF与平面ＡＢＣ所成二面角得大小相等、

?又anｇ;ＦCH=＆aｎg;FAC，所以在Ｒｔ△FAC中，tａn＆ang；ＦAC==、故平面AEF与平面AＢC所成二面角得正切值等于、

?点评二面角得两半平面得垂线所成角得大小与二面角得大小相等或互补,这就需要先对二面角得大小作粗略得判断:当二面角得一个半平面上得任意一点在另一个半平面上得射影在二面角得半平面上得，二面角为锐角;当射影在棱上时，二面角为直角;当射影在反向延伸面上时，二面角为钝角、

对策四：找(作）二面角得棱,作出平面角求解

?解法5（利用相交直线找棱）分别延长线段ＣB,ＦE交于点P,并连结AＰ,则ＡP为平面AEF与平面ＡＢC得交线。因为B１E＝2ＥＢ，ＣF＝２FC１，所以BＥＣF,从而CＢ＝ＢＰ,DBAP。又DB＆ｐeｒp;AC，所以AＰ＆ｐeｒｐ;AC。又ＣＣ1＆ｐerｐ;平面AＢC，所以AＣ１＆perｐ;ＡP，从而＆ang;FAC为平面AEF与平面ＡＢC所成二面角得平面角。

在Ｒt△FＡＣ中，AC=，ＣF=，则tan＆anｇ；FAC==、

?点评若二面角得两半平面同时与第三个平面相交,则这两条交线得交点在二面角得棱上、

解法6(利用平移平面找棱)分别取线段AF，CF得中点为点N，M,连结