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Mandelbrot集以及他的局部放大数学实验报告

Mandelbrot集是二维复平面上的分形数集，1980前后发现，堪称人

类认识数学存在的一个里程碑。它是由一个简单复函数f(Z)=Z2+C迭

代运算而形成的收敛数集（Z是迭代复变数，C是点位复常数），谁

做这样的迭代运算都能得到形态一样的数集，见下图，这便是

Mandelbrot集。

分形实在很美，于是读《分形理论与应用》尝试绘制

MandelbrotSet曼德勃罗集。

naiveidea:空间上的分形和时间上的混沌有相似性。一个动力

方程是时间上的混沌，会收敛到吸引子，根据此画出的动力平面和

参数平面是空间上的分形。

MandelbrotSet

1.复迭代

有一个关于z的复映射with参数c如下：

[公式]

我们想要知道在参数平面中临界点[公式]的轨迹是否有界，即

对于一个c，根据迭代规则

[公式]

生成的序列[公式],则无界,[公式]如果序列有界，则[公式]。

另外我们还想要知道在动力平面中[公式]，不同z0的值产生

的轨迹是否有界，此时[公式]如果序列有界，[公式]如果序列无

界。

2.Algorithm逃逸时间算法

为了绘制参数平面中的M集，我们需要确定每个c是否属于M

集，这里用到了逃逸时间算法。

逃逸准则

对于一个复数[公式],模[公式]。我们claim：

如果对于一个复数序列[公式]有[公式]则序列将逃逸到无穷

大。

证明

当[公式],则

由[公式]可知[公式]for[公式]

[公式]

因此，我们得到

[公式]

那么在k次迭代后，我们得到

[公式]

序列趋于无穷

如果[公式]，可得

[公式]

[公式]因为[公式]

那么对于任意[公式],假设[公式],我们有[公式]，对于[公

式]

那么根据数学归纳法，我们知道序列趋于无穷。

z需要判断大于2来证明这是个无界序列吗？不用。

逃逸时间算法

对于每个复参数平面上的点c，我们生成一个序列Z，怎么判断

这个序列是否有界呢？根据逃逸准则，我们规定R为逃逸半径，在

[公式]里，如果[公式]，判断有界（但其实也有可能这个序列是

无界的），反之，这个序列无界。所以我们需要确定以下超参数：

复平面范围[公式]

分辨率gridSize

逃逸半径[公式]

逃逸时间N=最大迭代次数

如果R小于2或|c|，则一些真正有界的会被判断为无界；因此

R要设置为大于2。

为了观察结构，我们也可以设置在不同n逃逸出去的c值画不

同颜色，那么就需要一个变量记录这一特点，代码中为count，每

一个iteration对z值的判断，如果逃逸则累加1，如果没有逃逸则

累加0，结果是对于每个c值，z越早逃逸count数值越大，后期绘

图log化后可以map到不同颜色上。

我们可以确定算法结构：

setN,gridSize,C,R

initialz=0,cinC

%批量计算

fori=1toN:

z=z**2+c

count=count+(|z|=R)

endfor

count=log(count)

%画图

3.MATLABImplementation

我们可以用Matlab画分形。

%Setup

N=500;%maxiterations最大迭代次数（逃逸时间）

gridSize=1000;%resolution分辨率