11.4球（解析版）练习.docx

11.4球

分层练习

一、填空题

1．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；②球的直径是球面上任意两点间的连线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.则正确命题的序号是.

【答案】①④

【分析】由球的定义和截面性质可逐项判断得可得答案.

【解析】由球的定义可得①是正确的；因为直径一定过球心，故②不对；

用平面截球，得到的是一个圆面，而不是一个圆，③不对.

由球的定义可得过球心的截面的最大的截面，且截面的半径就是球的半径,

则不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆，故④正确.

故答案为：①④.

2．下列命题中，真命题的是．（选填序号）

①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；

②球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径；

③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆；

④以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球；

⑤空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面．

【答案】①②⑤

【分析】根据球的相关概念和性质即可求解.

【解析】解：对于①，球的半径是球面上任意一点与球心连线的线段，所以①对.

对于②，球的任意两个大圆的交点的连线经过球心，所以是球的直径，所以②对.

对于③，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，而不是圆，所以③错.

对于④，以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球面，而不是球，所以④错.

对于⑤，空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面，故⑤对.

故答案为：①②⑤

3．已知球的半径为10cm，若它的一个截面圆的面积为36πcm2，则球心与截面圆圆心的距离是cm.

【答案】8

【分析】根据球的截面圆的性质即可求解.

【解析】如图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R.

由题意知，R=10cm，由πr2=36π，得r=6cm，

所以

故答案为：8

4．把地球视为一个球，如果地球半径增大米，那么地球赤道的长度会增大（精确到米）．

【答案】米

【分析】根据圆的周长公式可直接求得结果.

【解析】设地球半径为，则（米），

即地球赤道长度会增大米.

故答案为：米.

5．如图，已知正三角形的三个顶点都在表面积为的球面上，球心到平面的距离为2，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是.

【答案】

【分析】先根据勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识得到当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，再算出截面圆半径的最小值，进而可得截面面积的最小值．

【解析】设正的中心为，连结，

因为是正的中心，、、三点都在球面上，

所以平面，

因为球的半径，且球心到平面的距离为2，

所以，

所以在中，，

又因为E为AB的中点，是等边三角形，

所以，

当截面与OE垂直时，该截面圆的半径最小，

所以当截面与OE垂直时，截面圆的面积取得最小值．

此时截面圆的半径，可得截面面积为.

故答案为：.

6．在北纬45°圈上有、两点，若该纬度圈上、两点间的劣弧长为（为地球的半径），则、两点间的球面距离是．

【答案】

【分析】先求出北纬圈所在圆的半径，是、两地在北纬圈上对应的圆心角，得到线段的长，设地球的中心为，解三角形求出的大小，利用弧长公式求、这两地的球面距离．

【解析】北纬圈所在圆的半径为，它们在纬度圈上所对应的劣弧长等于为地球半径），

是、两地在北纬圈上对应的圆心角），

故，线段，

，

、这两地的球面距离是，

故答案为：．

【点睛】本题考查球的有关经纬度知识，球面距离，弧长公式，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．

7．已知地球半径为，处于同一经度上的甲乙两地，甲地纬度为北纬75°，乙地纬度为北纬15°，则甲乙两地的球面距离是

【答案】

【分析】同一纬度的两地之间与球心共在一个大圆上,根据纬度差即可求得圆心角,进而求得两地间距离.

【解析】由题意可知,同一纬度的两地之间与球心共在一个大圆上

当甲地纬度为北纬75°,乙地纬度为北纬15°,则两地间所在的大圆圆心角为60°

所以两地的球面距离为

故答案为

【点睛】本题考查了球的截面性质,大圆及球面距离的求法,属于基础题.

8．已知球是棱长为4的正方体的外接球，，分别是和的中点，则球截直线所得弦长为．

【答案】

【分析】先求得球心到直线的距离，然后利用勾股定理求得所求弦长.

【解析】依题意可知球心为正方体体对角线的交点处，将球心和投影到平面内，画出图像如下图所示，由图可知到直线的距离为.由于球的半径等于正方体对角线的一半，即，根据勾股定理求得所求弦长为.

【点睛】本小题主要考查正方体的外接球，考查与球有关的长度的计算，考查空间想象能力