河北省承德市承德县第一中学等校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题（解析版）.docx

高三数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷?草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数，三角函数，三角恒等变换，解三角形，平面向量，复数，数列.

一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则的真子集个数为（）

A.2 B.3 C.4 D.5

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集运算和真子集的定义求解.

因，

所以，

所以的真子集个数为个.

故选：B.

2.已知复数在复平面内对应的点为，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的概念和运算法则计算可得.

由题意，因为，所以，

故选：B.

3.已知数列满足，则数列的前30项和（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题设条件等式求出并裂项，运用裂项相消法即可求得.

详解】把代入整理得：，

故.

故选：D.

4.若曲线与轴，直线的交点分别为为坐标原点，则向量与夹角的余弦值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求得两点的坐标，然后根据向量运算求得正确答案.

依题意，，

，

解得，故，

由，所以，解得，所以，

所以，

所以.

故选：C

5.已知是以为直径的圆上一点，为的中点，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据数量积的运算律即可求解.

如图，连接，，因为是圆的直径，所以，

又，，则，

又是的中点，则，

.

故选：B.

6.已知数列满足.若为递减数列，则实数的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据数列的单调性列不等式，由此求得的取值范围.

依题意可知且，

由于为递减数列，

所以，，，

所以.

故选：C

7.已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则（）

A.6 B.4 C.3 D.2

【答案】D

【解析】

【分析】将函数解析式化为，令，则，设，，可判断是奇函数，根据奇函数性质及，求得答案.

因为，，

令，

则，

设，，则，

所以是奇函数，最大值为，最小值为，

则，由，解得.

故选：D.

8.在中，角为锐角，的面积为，且，则周长的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用三角恒等变换、正弦定理等知识判断出三角形是直角三角形，利用基本不等式求得周长的最小值.

依题意，，

由得，

即，

，

由于是锐角，所以，

与一正一负，或，

若，即，

由于，

所以，所以，

，此不等式组无解，所以不成立.

同理可得不成立.

所以，

所以，所以，.

所以，

所以三角形的周长，

当且仅当时等号成立，所以三角形的周长的最小值为.

故选：A

【点睛】本题涉及几何中的面积和周长问题，结合了三角函数和基本不等式，考查了学生的综合解题能力．解题过程中，利用基本不等式求周长的最小值，这是本题的关键点之一．基本不等式的应用不仅要找到正确的表达式，还需要验证等号成立的条件，以确保最小值能够实际取到．

二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知为数列的前项和，若，则（）

A.存在，使得既有最小项也有最大项

B.存在，使得仅有最小项无最大项

C.存在，使得既有最小项也有最大项

D.存在，使得无最小项有最大项

【答案】BCD

【解析】

【分析】借助与的关系计算可得数列通项公式，即可表示出，计算出后分、、及，，讨论数列的增减性即可得解.

由，则当时，有，

当时，，符合上式，故，

即，

则，

当时，，故数列为递增数列，

此时数列仅有最小项，且最小项为，故B正确，A错误.

则当，有，，即，

即数列为递减数列，此时数列仅有最大项，且最大项为，故D正确；

当，时，则当时，，

当时，，又，

即当时，数列递减，

故此时数列在中，有最小项，且有最大项，故C正确；

故选：BCD.

10.若实数满足，则（）

A. B.

C. D.

【答案】AC

【解析】

【分析】把作为主元，求得，分类计算求得的最值，可判断AB；

方程变形为，可得判断C；赋值法可判断D.

因为，可得，

当时，可得，令，

求导得，令，可得，解得，

当时，