河北省承德市承德县第一中学等校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(解析版).docx

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高三数学

考生注意:

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟.

2.答题前,考生务必用直径0.5毫米,黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米,黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷?草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围:集合与常用逻辑用语,不等式,函数,导数,三角函数,三角恒等变换,解三角形,平面向量,复数,数列.

一?选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合,则的真子集个数为()

A.2 B.3 C.4 D.5

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集运算和真子集的定义求解.

因,

所以,

所以的真子集个数为个.

故选:B.

2.已知复数在复平面内对应的点为,则()

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的概念和运算法则计算可得.

由题意,因为,所以,

故选:B.

3.已知数列满足,则数列的前30项和()

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题设条件等式求出并裂项,运用裂项相消法即可求得.

详解】把代入整理得:,

故.

故选:D.

4.若曲线与轴,直线的交点分别为为坐标原点,则向量与夹角的余弦值为()

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求得两点的坐标,然后根据向量运算求得正确答案.

依题意,,

解得,故,

由,所以,解得,所以,

所以,

所以.

故选:C

5.已知是以为直径的圆上一点,为的中点,则()

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据数量积的运算律即可求解.

如图,连接,,因为是圆的直径,所以,

又,,则,

又是的中点,则,

.

故选:B.

6.已知数列满足.若为递减数列,则实数的取值范围为()

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据数列的单调性列不等式,由此求得的取值范围.

依题意可知且,

由于为递减数列,

所以,,,

所以.

故选:C

7.已知函数(为常数),若在上的最大值为,最小值为,且,则()

A.6 B.4 C.3 D.2

【答案】D

【解析】

【分析】将函数解析式化为,令,则,设,,可判断是奇函数,根据奇函数性质及,求得答案.

因为,,

令,

则,

设,,则,

所以是奇函数,最大值为,最小值为,

则,由,解得.

故选:D.

8.在中,角为锐角,的面积为,且,则周长的最小值为()

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用三角恒等变换、正弦定理等知识判断出三角形是直角三角形,利用基本不等式求得周长的最小值.

依题意,,

由得,

即,

由于是锐角,所以,

与一正一负,或,

若,即,

由于,

所以,所以,

,此不等式组无解,所以不成立.

同理可得不成立.

所以,

所以,所以,.

所以,

所以三角形的周长,

当且仅当时等号成立,所以三角形的周长的最小值为.

故选:A

【点睛】本题涉及几何中的面积和周长问题,结合了三角函数和基本不等式,考查了学生的综合解题能力.解题过程中,利用基本不等式求周长的最小值,这是本题的关键点之一.基本不等式的应用不仅要找到正确的表达式,还需要验证等号成立的条件,以确保最小值能够实际取到.

二?多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.已知为数列的前项和,若,则()

A.存在,使得既有最小项也有最大项

B.存在,使得仅有最小项无最大项

C.存在,使得既有最小项也有最大项

D.存在,使得无最小项有最大项

【答案】BCD

【解析】

【分析】借助与的关系计算可得数列通项公式,即可表示出,计算出后分、、及,,讨论数列的增减性即可得解.

由,则当时,有,

当时,,符合上式,故,

即,

则,

当时,,故数列为递增数列,

此时数列仅有最小项,且最小项为,故B正确,A错误.

则当,有,,即,

即数列为递减数列,此时数列仅有最大项,且最大项为,故D正确;

当,时,则当时,,

当时,,又,

即当时,数列递减,

故此时数列在中,有最小项,且有最大项,故C正确;

故选:BCD.

10.若实数满足,则()

A. B.

C. D.

【答案】AC

【解析】

【分析】把作为主元,求得,分类计算求得的最值,可判断AB;

方程变形为,可得判断C;赋值法可判断D.

因为,可得,

当时,可得,令,

求导得,令,可得,解得,

当时,

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