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1.3空间向量及其坐标表示典型例题
考点01：空间向量的坐标表示
1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.
故选：C.
2．如图所示，在空间直角坐标系中，原点是的中点，点的坐标是，点在平面上，且，则向量的坐标为（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】过点作轴交于点，根据已知条件算出三角形的边，利用直角三角形的性质及题中所给条件计算出的长度即可解决问题.
【详解】过点作交于点，如图所示：
因为，，
所以在中有：
得、，
在中，
有，
所以，
所以点的坐标为，
又为原点，所以，
故选：B.
考点02：空间向量求点的坐标
3．已知、，则线段上靠近的三等分点的坐标为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设线段上靠近的三等分点为，根据题意可得出，结合空间向量的坐标运算可求得点的坐标.
【详解】设线段上靠近的三等分点为，
根据题意可得出，即，
所以，，解得，即点.
故选：B.
4．已知三棱锥中，平面ABC，，若，，，先建立空间直角坐标系.
(1)求各顶点的坐标；
(2)若点D在线段PC上靠近点P的三等分点，求点D的坐标.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据题设条件可以建立以点A为原点，以射线AB、AC、AP为x轴、y轴、z轴的正半轴的空间直角坐标系，从而求解各顶点坐标；
（2）点D的坐标为，由求解.
(1)
因为平面ABC，
所以，，
又因为，
所以建立以点A为原点，以射线AB、AC、AP为x轴、y轴、z轴的正半轴的空间直角坐标系，如图所示：
因为，，，
所以、、、；
(2)
若D点在线段PC上靠近P点的三等分点，
所以，
设点D的坐标为，则
所以.
考点03：空间向量坐标的运算
5．若，，，则（????）
A．-11 B．3 C．4 D．15
【答案】C
【分析】先求出的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可
【详解】由已知，，
，
∴.
故选：C．
6．已知，，则等于（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量坐标运算即可.
【详解】.
故选：B.
7．已知，，则______．
【答案】
【分析】利用空间向量的坐标运算求解作答.
【详解】因为，，所以.
故答案为：
8．若向量，满足条件，则（????）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】首先通过向量的减法的坐标运算可得，再通过数量积运算即可得解.
【详解】根据向量的运算可得：
，
所以
，
所以，
故选：B
9．设为空间的三个不同向量，如果成立的等价条件为，则称线性无关，否则称它们线性相关.若线性相关，则（????）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】D
【分析】确定，解得答案.
【详解】线性相关，
，
则，不同时为0，解得.
故选：D
10．（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（????）
A．若，则
B．若，则
C．若在上的投影向量为，则
D．若与夹角为锐角，则
【答案】ABD
【分析】对于A：结合向量垂直的性质即可求解；
对于B：结合向量的四则运算即可求解；
对于C：利用投影的几何意义即可求解；
对于D：根据向量的夹角公式即可求解.
【详解】对于A：，，
即：，
解得：.
故A选项正确；
对于B：，
，解得：.
故B选项正确；
对于C：在上的投影向量为：，
即，代入坐标化简可得：，无解，
故C选项错误；
对于D：与夹角为锐角，
，解得：，
且与不共线，即，解得：，
所以与夹角为锐角时，解得：.
故D选项正确；
故选：ABD.
考点04：空间向量模长的坐标表示
11．已知，则的最小值是（????）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的坐标运算，表示出的坐标，再根据模的计算公式，即可求得答案.
【详解】由题意知，故，
则，
即的最小值是，
故选：D
12．在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】三点共线，求出C点坐标，即可求.
【详解】，，，
若三点共线，则有，得，解得，
，.
故选：B
13．已知向量，若与垂直，则___________.
【答案】
【分析】由与垂直，解得，从而，由此能求出.
【详解】∵与垂直，∴，则，解得，
∴，
则，
∴，
故答案为：.
考点05：空间向量平行的坐标表示
14．已知两个空间向量，，且，则实数的值为__________．
【答案】
【分析】依题意可得，根据空间向量基本定理计算可得.
【详解】因为，，且，
所以，即，即，解得.
故答案为：
15．已知向量，，且，则实数k的值为（????）
A． B．
C
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