3.2 函数的性质（讲）（解析版）.docx

3.2函数的性质

1．函数的单调性

(1)函数单调性的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．

②如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．

(2)单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

(3)函数的最值

最大值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．

最小值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N；

②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值．

2．函数的奇偶性

(1)偶函数的定义

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．

(2)奇函数的定义

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

(3)奇、偶函数的图象特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

(4)具有奇偶性函数的定义域的特点

具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件．

(5)奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)

奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.

(6)函数奇偶性与单调性之间的关系

(1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数；

(2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数．

3．函数的周期性

(1)周期、周期函数

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．

(2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

一、函数的单调性

【典例1】函数的单调递增区间是（????）

A．B．C． D．

【答案】B

【解析】由知，函数为开口向上，对称轴为的二次函数，则单调递增区间是，故选：B.

【典例2】若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在上单调递增，，，解得：，实数的取值范围为，故选：C.

【典例3】已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题知，当或，即或时，满足题意，故选：A.

【典例4】设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】函数为偶函数，则，，当时，是减函数，又，

则，则，故选：C.

【典例5】如果奇函数在区间上是增函数，且，那么函数在区间上是（????）

A．增函数，且 B．增函数，且

C．减函数，且 D．减函数，且

【答案】B

【解析】奇函数图象关于原点中心对称，在对称的区间上具有相同的单调性，故在区间上是增函数，且，故选：B.

1、定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增，所以的单调递减区间为，故选：B．

2、已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（????）

A． B．(2，3)

C．(1，2) D．(1，3)

【答案】A

【解析】∵是定义在R上的增函数，且，∴，解得，则a的取值范围为，故选：A．

3、已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（????）

A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]

【答案】A

【解析】对称轴为，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以，故选：A.

4、若偶函数在上是减函数，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】是偶函数，所以，在上是减函数，所以在上是增函数，所以，故，故选：B.

5、偶函数在区间上单调递减，则函数在区间