人教A版高中数学（必修第二册）重难点题型讲练测 6.1 平面向量的概念（原卷版）.doc

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专题6.1平面向量的概念（重难点题型精讲）

1．向量的概念

(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.

(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．

注：

①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．

②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．

③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．

2．向量的表示法

(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．

(2)向量的表示方法:

①字母表示法：如SKIPIF10等.

(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段SKIPIF10（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段SKIPIF10表示向量，通常我们就说向量SKIPIF10.

注：

①用字母表示向量便于向量运算；

②用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．

3．向量的有关概念

(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).

注：

①向量SKIPIF10的模SKIPIF10．

②向量不能比较大小，但SKIPIF10是实数，可以比较大小．

(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作SKIPIF10，它的方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.

注：

①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；

②将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．

4．相等向量:长度相等且方向相同的向量.

注：

在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．

4．向量的共线或平行

方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:SKIPIF10与任一向量共线.

注：

①零向量的方向是任意的，注意SKIPIF10与0的含义与书写区别.

②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．

5．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系

(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.

(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.

(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.

【题型1向量的基本概念】

【方法点拨】

根据向量的基本概念，进行求解即可.

【例1】给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．

其中不是向量的有（????）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【变式1-1】以下选项中，都是向量的是（????）

A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力

C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度

【变式1-2】（2022秋·福建·高一阶段练习）下列说法错误的是（????）

A．长度为0的向量叫做零向量

B．零向量与任意向量都不平行

C．平行向量就是共线向量

D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量

【变式1-3】下列说法错误的是（????）

A．向量CD与向量DC长度相等

B．单位向量都相等

C．向量的模可以比较大小

D．任一非零向量都可以平行移动

【题型2向量的几何表示与向量的模】

【方法点拨】

第一步：已给定向量的起点、方向和长度；

第二步：在坐标纸上找准方向、长度；

第三步：画出对应的向量.

【例2】一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北60°航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．

（1）试作出向量AB,

（2）求|AD

【变式2-1】在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．

(1)OA=3，点A在点O

(2)OB=22，点B在点

【变式2-2】已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2000km到达C