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第
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专题6.1平面向量的概念(重难点题型精讲)
1.向量的概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)数量:只有大小,没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等),称为数量.
注:
①本书所学向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.
②看一个量是否为向量,就要看它是否具备了大小和方向两个要素.
③向量与数量的区别:数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小.
2.向量的表示法
(1)有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.
(2)向量的表示方法:
①字母表示法:如SKIPIF10等.
(2)几何表示法:以A为始点,B为终点作有向线段SKIPIF10(注意始点一定要写在终点的前面).如果用一条有向线段SKIPIF10表示向量,通常我们就说向量SKIPIF10.
注:
①用字母表示向量便于向量运算;
②用有向线段来表示向量,显示了图形的直观性.应该注意的是有向线段是向量的表示,不是说向量就是有向线段.由于向量只含有大小和方向两个要素,用有向线段表示向量时,与它的始点的位置无关,即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.
3.向量的有关概念
(1)向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
注:
①向量SKIPIF10的模SKIPIF10.
②向量不能比较大小,但SKIPIF10是实数,可以比较大小.
(2)零向量:长度为零的向量叫零向量.记作SKIPIF10,它的方向是任意的.
(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.
注:
①在画单位向量时,长度1可以根据需要任意设定;
②将一个向量除以它的模,得到的向量就是一个单位向量,并且它的方向与该向量相同.
4.相等向量:长度相等且方向相同的向量.
注:
在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等.
4.向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量,叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:SKIPIF10与任一向量共线.
注:
①零向量的方向是任意的,注意SKIPIF10与0的含义与书写区别.
②平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
③共线向量与相等向量的关系:相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等的向量.
5.用共线(平行)向量或相等向量刻画几何关系
(1)利用向量的模相等可以证明线段相等,利用向量相等可以证明线段平行且相等.
(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行,但需说明向量所在的直线无公共点.
(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.
【题型1向量的基本概念】
【方法点拨】
根据向量的基本概念,进行求解即可.
【例1】给出下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功;⑨时间.
其中不是向量的有(????)
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【变式1-1】以下选项中,都是向量的是(????)
A.正弦线、海拔 B.质量、摩擦力
C.△ABC的三边、体积 D.余弦线、速度
【变式1-2】(2022秋·福建·高一阶段练习)下列说法错误的是(????)
A.长度为0的向量叫做零向量
B.零向量与任意向量都不平行
C.平行向量就是共线向量
D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量
【变式1-3】下列说法错误的是(????)
A.向量CD与向量DC长度相等
B.单位向量都相等
C.向量的模可以比较大小
D.任一非零向量都可以平行移动
【题型2向量的几何表示与向量的模】
【方法点拨】
第一步:已给定向量的起点、方向和长度;
第二步:在坐标纸上找准方向、长度;
第三步:画出对应的向量.
【例2】一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B,然后改变航线向东偏北60°航行了400海里到达C岛,最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛.
(1)试作出向量AB,
(2)求|AD
【变式2-1】在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1),用直尺和圆规画出下列向量.
(1)OA=3,点A在点O
(2)OB=22,点B在点
【变式2-2】已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2000km到达B地,再从B地按南偏东30°方向飞行2000km到达C
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