北京市中国人民大学附属中学朝阳学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题 含解析.docx

2024北京人大附中朝阳学校高三10月月考

数学

2024年10月5日

出题人：金鑫高爽审题人：高爽金鑫

考生须知：1.本试卷共三大题21小题，考试时长120分钟，满分150分.

2.请将个人信息完整填写在答题纸密封线内，确保信息准确无误.

3.选择各题均须用2B铅笔按规定要求在“机读答题纸”对应区域上作答，选项与题号

对应，填涂要规范，保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损，不得做任何标记.

4.填空、解答各题均须用黑色字迹的签字笔按规定要求在答题纸上作答.

第I卷（共50分请将答案填涂在答题卡上）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，请将答案填涂在答题纸上.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式求得集合，由此求得.

【详解】由解得或，所以，

所以.

故选：C

2.若，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式计算作答.

【详解】因，则，即，而，于是得，

所以.

故选：A

3.已知，则（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数性质可判断b的范围，利用三角函数诱导公式求得c,并利用对数函数的性质比较的大小，即得答案.

【详解】因为，

所以,

故选：B.

4.如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.

【详解】

.

故选：D

5.已知数列是的无穷等比数列，则“为递增数列”是“且，”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据等比数列的单调性，结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.

【详解】解：若为递增的等比数列，显然后面的项都比大，

即且，，充分性成立；

反过来，若且，，即（为公比），

因为，所以，所以，从而可得为递增数列，必要性成立，

所以“为递增数列”是“且，”的充分必要条件.

故选：C.

6.设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（）

A. B.3 C.9 D.36

【答案】C

【解析】

【分析】先求得的关系式，然后利用基本不等式求得正确答案.

【详解】设等差数列的公差为，则，

也即，所以，

当且仅当时等号成立.

故选：C

7.函数，其中，其最小正周期为，则下列说法中错误的个数是（）

①

②函数图象关于点对称

③函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为

④若，则函数的最大值为

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】A

【解析】

【分析】化简函数解析式，根据正弦型函数的周期公式可求判断①，验证是否为函数的对称中心判断②，结合函数图象平移变换结论判断③，结合不等式性质及正弦函数性质判断④.

【详解】由已知，

所以，

又，所以函数的最小正周期为π，

由已知，所以，①正确；

所以，

因为，所以函数图象关于点对称，②正确，

将函数图象向右移个单位后可得函数的图象，

因为的图象关于轴对称，

所以，又，

所以的最小值为，③正确，

若，则，

所以，故，

所以当时，函数取最大值，最大值为，④错误.

故选:A

8.已知正方形的边长为，动点在以为圆心且与相切的圆上，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件可建立直角坐标系，写出点的坐标，根据点坐标得向量坐标，进而根据向量数量积的坐标运算即可求解.

【详解】以点为圆心，以分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：

，，，

圆的半径为，设，

，，

，

当时，取最小值，当时取最大值4

故选：C

9.已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放废水符合排放标准，则改良工艺次数最少要（参考数据：）（）次.

A.8 B.9 C.10 D.11

【答案】D

【解析】

【分析】又与的关系，结合条件求，再由条件列不等式，结合指数，对数运算性质和对数函数性质解不等式可得结论.

【详解】因为，

所以

又，

所以，

所以

所以

由可得，

所以，

所以，又，

所以，所以，，

所以要使该企业排放的废水符合排放标准，改良工艺次数最少要11次，

故选：D.