人教A版高中同步训练数学选择性必修第一册课后习题 第1章空间向量与立体几何 1.4.1第1课时 用空间向量研究直线、平面的平行关系 (3).docVIP

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1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

第1课时用空间向量研究直线、平面的平行关系

课后·训练提升

基础巩固

1.已知平面α的一个法向量是(2,3,-1),平面β的一个法向量是(4,λ,-2),若α∥β,则实数λ的值是()

A.-103 B.6

C.-6 D.10

答案:B

2.设a=(3,-2,-1)是直线l的一个方向向量,n=(1,2,-1)是平面α的一个法向量,则()

A.l⊥α B.l∥α

C.l∥α或l?α D.l?α或l⊥α

答案:C

解析:因为a·n=3×1+(-2)×2+(-1)×(-1)=0,所以这两个向量垂直,得出l∥α或l?α.

3.已知平面α内的两条直线的方向向量分别为a=(1,2,1),b=(-1,1,2),则平面α的一个法向量为()

A.(-1,-2,5) B.(-1,1,-1)

C.(1,1,1) D.(1,-1,-1)

答案:B

4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B,AC的中点,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()

A.相交

B.平行

C.垂直

D.不能确定

答案:B

解析:如图,建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为2,则M(2,1,1),N(1,1,2),所以MN=(-1,0,1).易知平面BB1C1C的一个法向量为n=(0,1,0).因为MN·n=0,MN?平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C.

5.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分别为AB,CD,BC的中点.下列结论正确的是()

A.A1M∥D1P

B.A1M∥B1Q

C.A1M∥平面DCC1D1

D.A1M∥平面D1PQB1

答案:ACD

解析:因为A1M=A1A+AM=A1A+12AB,D1P=D1D+DP=A1A+12AB,所以A1M∥D1P.又A1M与D1P不重合,所以A1M∥D1P,故A中结论正确;由线面平行的判定定理可知,A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1.故C,D中结论正确

6.已知直线l∥平面α,且直线l的一个方向向量为m=(2,-8,1),平面α的一个法向量为n=(1,y,2),则y=.?

答案:1

解析:由题意可知,m·n=2-8y+2=0,解得y=12

7.已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(x,-1,3)在平面ABC内,则x=,

AP=(用向量AB,AC表示

答案:11-4AB

解析:AB=(-2,2,-2),AC=(-1,6,-8),AP=(x-4,-2,0),

由题意知A,B,C,P四点共面,

故存在实数λ,μ,

使得AP=λAB+μAC=(-2λ,2λ,-2λ)+(-μ,6μ,-8μ)=(-2λ-μ,2λ+6μ,-2λ-8μ).

所以2λ+6μ=-2

而x-4=-2λ-μ,

所以x=11,AP=-4AB+

8.已知点O(0,0,0),A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),以OP=(x,-1,3)为方向向量的直线与平面ABC平行,则x=.?

答案:-4

解析:由题意可知,AB=(-2,2,-2),AC=(-1,6,-8),

则平面ABC的一个法向量为n=(2,7,5).

由n·OP=0,得2x-7+15=0,

解得x=-4.

9.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E,F分别为AB,SC的中点.求证:EF∥平面SAD.

证明:如图,以D为原点,DA,DC,DS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.

设AB=a,SD=b,则E(a,a2,0),F(0,a2,b2),所以EF=

由题意可知,CD⊥平面SAD,故DC=(0,a,0)为平面SAD的一个法向量.

因为EF·DC=0,EF?

所以EF∥平面SAD.

能力提升

1.已知点A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1)在平面ABC内,若a=(-1,y,z)为平面ABC的一个法向量,则y2等于()

A.0 B.1

C.2 D.3

答案:B

解析:由题意可知,AB=(1,1,0),AC=(-1,-1,-2).因为a=(-1,y,z)为平面ABC的一个法向量,所以a·AB=0,a·AC=0.

所以-1+y=0,1-y-

2.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=π4,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点,则直线MN与平面OCD的位置关系为(

A.MN∥平面OCD

B.MN⊥平面OCD

C.MN?平面OCD

D.MN与平面OCD相交

答案:A

解析:(方法一)∵M