人教A版高中数学（必修第二册）重难点题型讲练测 7.3 复数的三角表示（原卷版）.doc

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专题7.3复数的三角表示（重难点题型精讲）

1．复数的三角表示式

(1)复数的三角表示式

如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角SKIPIF10来表示复数z.

一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(SKIPIF10SKIPIF10+iSKIPIF10SKIPIF10)的形式.

(2)辅角的主值

显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是

SKIPIF10+2kπ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0SKIPIF10SKIPIF102π范围内的辐角SKIPIF10的值为辐角的主值.通常记作argz，即0SKIPIF10argz2π.

(3)三角形式下的复数相等

每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.

2．复数乘法运算的三角表示及其几何意义

(1)复数乘法运算的三角表示

根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到

SKIPIF10SKIPIF10=SKIPIF10(SKIPIF10SKIPIF10+iSKIPIF10SKIPIF10)SKIPIF10SKIPIF10(SKIPIF10SKIPIF10+iSKIPIF10SKIPIF10)=SKIPIF10SKIPIF10[SKIPIF10(SKIPIF10+SKIPIF10)+iSKIPIF10(SKIPIF10+SKIPIF10)]，

即SKIPIF10(SKIPIF10SKIPIF10+iSKIPIF10SKIPIF10)SKIPIF10SKIPIF10(SKIPIF10SKIPIF10+iSKIPIF10SKIPIF10)=SKIPIF10SKIPIF10[SKIPIF10(SKIPIF10+SKIPIF10)+iSKIPIF10(SKIPIF10+SKIPIF10)].

这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.

(2)几何意义

两个复数SKIPIF10，SKIPIF10相乘时，可以像图那样，先分别画出与SKIPIF10，SKIPIF10对应的向量SKIPIF10，SKIPIF10，然后把向量SKIPIF10

绕点O按逆时针方向旋转角SKIPIF10(如果SKIPIF100，就要把SKIPIF10绕点O按顺时针方向旋转角|SKIPIF10|)，再把它的模变为原来的SKIPIF10倍，得到向