人教A版高中数学选修1-1课后习题 3.3.3 函数的最大(小)值与导数.docVIP

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3.3.3函数的最大(小)值与导数

课后篇巩固提升

1.设函数g(x)=x(x2-1),则g(x)在区间[0,1]上的最小值为()

A.-1

B.0

C.-23

D.3

解析g(x)=x3-x,由g(x)=3x2-1=0,

解得x1=33,x2=-33(舍去).

当x变化时,g(x)与g(x)的变化状态如下表:

x

0

0

3

3

1

g(x)

-

0

+

g(x)

0

单调递减↘

-2

单调递增↗

0

所以当x=33时,g(x)有最小值g33=-

答案C

2.函数y=f(x)=lnx-x在区间(0,e]上的最大值为()

A.-e B.1-e

C.-1 D.0

解析y=1x-1,令y=0,∴x=1,列表如下

x

(0,1)

1

(1,e)

e

y

+

0

-

y

单调递增↗

-1

单调递减↘

1-e

所以y最大值=f(1)=-1.

答案C

3.函数y=4xx2+1

A.有最大值2,无最小值

B.无最大值,有最小值-2

C.最大值为2,最小值为-2

D.无最值

解析y=4(1-x2)(x2+1)2,令y=0,得x=

又因为当x=0时,y=0,当x0时,y0,当x0时,y0,据此可以画出函数的大致图象如下,由图象可知,函数的最大值为f(1)=2,函数的最小值为f(-1)=-2.

答案C

4.若函数f(x)=2x3+3x2+1(x≤0),e

A.12

B.0

C.(-∞,0]

D.-∞,

解析当x≤0时,f(x)=6x2+6x,易知函数f(x)在(-∞,0]上的最大值点是x=-1,且f(-1)=2,故只要在(0,2]上,eax≤2恒成立即可,即ax≤ln2在(0,2]上恒成立,即a≤ln2x在(0,2]上恒成立,故a≤1

答案D

5.已知函数f(x)=(2x-x2)ex,给出下列判断:①f(x)0的解集是{x|0x2};②f(-2)是极小值,f(2)是极大值;③f(x)没有最小值,也没有最大值,其中判断正确的是()

A.①③

B.①②③

C.②

D.①②

解析由f(x)0,得2x-x20,所以0x2,故①正确;f(x)=[(2x-x2)ex]=ex(2-2x+2x-x2)=ex(2-x2),令f(x)=0,得x=±2,容易验证f(-2)是极小值,f(2)是极大值,所以②正确;f(-2)=(-22-2)e-20,f(2)=(22-2)

当x→+∞时,f(x)0,当x→-∞时,f(x)0.

所以f(x)的大致图象为

故f(x)无最小值,有最大值.③不正确.

答案D

6.函数y=x+12x2(x0)的最小值为

解析y=1+12×(-2)×1x3=1-1x3=x3-1x3=(x-1)(x2+x+1)x3,

答案3

7.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,则它在该区间上的最小值等于.?

解析因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)f(-2).

因为f(x)=-3x2+6x+9=-3(x-3)(x+1)≥0在[-1,2]上恒成立,所以f(x)在[-1,2]上单调递增.

又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,

所以f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值.于是有f(2)=22+a=20,解得a=-2.

故f(x)=-x3+3x2+9x-2.

因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.

答案-7

8.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(N|达到最小值时t的值为.?

解析因为函数f(x)的图象始终在g(N|=f(t)-g(t)=t2-lnt.

设h(t)=t2-lnt,则h(t)=2t-1t

令h(t)=2t2-1t

所以h(t)在0,22内单调递减,在22,+∞内单调递增,所以当t=

答案2

9.已知f(x2-12x+6的一个极值点为2.

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)求函数f(x)在区间[-2,2]上的最值.

解(1)因为f(x2-12=3.

此时f(x)=2x3-3x2-12x+6,f(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),

令f(x)=0,得x=-1或x=2.

令f(x)0,得-1x2;令f(x)0,得x-1或x2,

故函数f(x)在区间(-1,2)内单调递减,在区间(-∞,-1),(2,+∞)内单调递增.

(2)由(1)知,f(x)在[-2,-1]内为增函数,在(-1,2]内为减函数,

所以x=-1是函数f(x)的极大值点,又f(-2)=2,f(-1)=13,f(2)=-14,

所以函数