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第
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§4.4数学归纳法
学习目标1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的命题.
知识点数学归纳法
1.数学归纳法
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当n=n0(n0∈N*)时命题成立;
(2)(归纳递推)以当“n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件,推出“当n=k+1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
2.数学归纳法的证明形式
记P(n)是一个关于正整数n的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下:
条件:(1)?P(n0)为真;(2)若P(k)为真,则P(k+1)也为真.
结论:P(n)为真.
3.数学归纳法中的两个步骤
在数学归纳法的两步中,第一步验证(或证明)了当n=n0时结论成立,即命题P(n0)为真;第二步是证明一种递推关系,实际上是要证明一个新命题:若P(k)为真,则P(k+1)也为真.只要将这两步交替使用,就有P(n0)真,P(n0+1)真……P(k)真,P(k+1)真……,从而完成证明.
1.应用数学归纳法证明数学命题时n0=1.(×)
2.用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,缺一不可.(√)
3.推证n=k+1时可以不用n=k时的假设.(×)
一、证明恒等式
例1用数学归纳法证明1-eq\f(1,2)+eq\f(1,3)-eq\f(1,4)+…+eq\f(1,2n-1)-eq\f(1,2n)=eq\f(1,n+1)+eq\f(1,n+2)+…+eq\f(1,2n)(n∈N*).
反思感悟用数学归纳法证明等式的策略
应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构,即:
(1)n=n0时,等式的结构.
(2)n=k到n=k+1时,两个式子的结构:n=k+1时的代数式比n=k时的代数式增加(或减少)的项.
这时一定要弄清三点:
①代数式从哪一项(哪一个数)开始,即第一项.
②代数式相邻两项之间的变化规律.
③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系.
跟踪训练1求证:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N*).
二、证明不等式
例2用数学归纳法证明:
eq\f(1,22)+eq\f(1,32)+eq\f(1,42)+…+eq\f(1,n2)1-eq\f(1,n)(n≥2,n∈N*).
反思感悟用数学归纳法证明不等式的四个关键
(1)验证第一个n的值时,要注意n0不一定为1,若nk(k为正整数),则n0=k+1.
(2)证明不等式的第二步中,从n=k到n=k+1的推导过程中,一定要用归纳假设,不应用归纳假设的证明不是数学归纳法,因为缺少归纳假设.
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式:一是直接给出不等式,按要求进行证明;二是给出两个式子,按要求比较它们的大小.对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较,以免出现判断失误,最后猜出从某个k值开始都成立的结论,常用数学归纳法证明.
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时成立,得n=k+1时成立,主要方法有比较法、放缩法等.
跟踪训练2求证:eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+eq\f(1,4)+…+eq\f(1,2n-1)>eq\f(n-2,2)(n≥2).
三、归纳—猜想—证明
例3数列{an}中,a1=1,a2=eq\f(1,4),且an+1=eq\f(?n-1?an,n-an)(n≥2,n∈N*),求a3,a4,猜想an的表达式,并加以证明.
反思感悟
(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题,其基本模式是“归纳—猜想—证明”.
(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式.
跟踪训练3已知数列{bn}的首项b1=1,其前n项和Bn=eq\f(1,2)(n+1)bn,求数列{bn}的通项公式.
1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=eq\f(?n+3??n+4?,2)(n∈N*),验证n=1时,左边应取的项是()
A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4
2.在数列{an}中,an=1-eq\f(1,2)+eq\f(1,3)-eq\f(1,4)+…+eq\f(1,2n-1)-eq\f(1,2n),则ak+1等于()
A.ak+eq\f(1,2k+1) B.ak+eq
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