人教A版高中数学（选择性必修第二册）同步课时讲练4.4《数学归纳法》(原卷版).doc

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§4.4数学归纳法

学习目标1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的命题.

知识点数学归纳法

1．数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)(归纳递推)以当“n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．

2．数学归纳法的证明形式

记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：

条件：(1)?P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．

结论：P(n)为真．

3.数学归纳法中的两个步骤

在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明．

1．应用数学归纳法证明数学命题时n0＝1.(×)

2．用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，缺一不可．(√)

3．推证n＝k＋1时可以不用n＝k时的假设.(×)

一、证明恒等式

例1用数学归纳法证明1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)．

反思感悟用数学归纳法证明等式的策略

应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：

(1)n＝n0时，等式的结构．

(2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项．

这时一定要弄清三点：

①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项．

②代数式相邻两项之间的变化规律．

③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系．

跟踪训练1求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．

二、证明不等式

例2用数学归纳法证明：

eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋…＋eq\f(1,n2)1－eq\f(1,n)(n≥2，n∈N*)．

反思感悟用数学归纳法证明不等式的四个关键

(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若nk(k为正整数)，则n0＝k＋1.

(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．

(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．

(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、放缩法等．

跟踪训练2求证：eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)＞eq\f(n－2,2)(n≥2)．

三、归纳—猜想—证明

例3数列{an}中，a1＝1，a2＝eq\f(1,4)，且an＋1＝eq\f(?n－1?an,n－an)(n≥2，n∈N*)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明．

反思感悟

(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”．

(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式．

跟踪训练3已知数列{bn}的首项b1＝1，其前n项和Bn＝eq\f(1,2)(n＋1)bn，求数列{bn}的通项公式．

1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝eq\f(?n＋3??n＋4?,2)(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是()

A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4

2．在数列{an}中，an＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)，则ak＋1等于()

A．ak＋eq\f(1,2k＋1) B．ak＋eq