2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义专题20 幂函数（学生版）.docx

专题20幂函数

【知识点梳理】

知识点一：幂函数概念

形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．

知识点诠释：

幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数．

知识点二：幂函数的图象及性质

1、作出下列函数的图象：

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．

知识点诠释：

幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：

(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；

(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

2、作幂函数图象的步骤如下：

(1)先作出第一象限内的图象；

(2)若幂函数的定义域为或，作图已完成；

若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性

如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；

如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．

3、幂函数解析式的确定

(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．

(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．

(3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．

4、幂函数值大小的比较

(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．

(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．

(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．

【题型归纳目录】

题型一：幂函数的概念

题型二：幂函数的图象的应用

题型三：幂函数的单调性

题型四：幂函数的奇偶性

题型五：幂值大小的比较

题型六：定点问题

题型七：定义域问题

题型八：值域问题

题型九：解不等式问题

题型十：幂函数综合问题

【典例例题】

题型一：幂函数的概念

例1．(2023·高一课时练习)下列函数为幂函数的是(??)

A． B． C． D．

例2．(2023·江西吉安·高一永新中学校考期中)下列函数是幂函数的是(????)

A． B． C． D．

例3．(2023·江西赣州·高一校考期中)在函数，中，幂函数的个数为()

A．0 B．1 C．2 D．3

变式1．(2023·江苏扬州·高一统考期中)已知幂函数的图像经过点，则的值为(????)

A． B． C． D．

变式2．(2023·高一课时练习)已知幂函数的图象过点，则等于(???)

A． B．0 C． D．1

变式3．(2023·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末)已知幂函数在上是减函数，则n的值为(????)

A． B．1 C．3 D．1或

变式4．(2023·黑龙江大庆·高一大庆中学校考期中)函数是幂函数，且在上单调递增，则(????)

A． B．

C．或 D．或

题型二：幂函数的图象的应用

例4．(2023·全国·高一专题练习)如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是(???)

A．①，②，③ B．①，②，③

C．①，②，③ D．①，②，③

例5．(2023·黑龙江哈尔滨·高一统考期末)若点在幂函数的图象上，则的图象大致是(????)

A． B． C． D．

例6．(2023·高一课时练习)已知幂函数(且互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则(????)

A．p，q均为奇数，且

B．q为偶数，p为奇数，且

C．q为奇数，p为偶数，且

D．q为奇数，p为偶数，且

变式5．(2023·全国·高一专题练习)已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是(????)

A． B．

C． D．

变式6．(2023·湖北十堰·高一统考期末)已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是(????)

A． B．

C． D．

题型三：幂函数的单调性

例7．(2023·高一课时练习)下列函数中，在区间上为增函数的是(????)

A． B． C． D．

例8．(2023·重庆·高一校联考期中)下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是(????)

A． B． C． D．

例9．(2023·辽宁丹东·高一统考期末)已知幂函数的图象经过点，则在定义域内(????)

A．单调递增 B．单调递减 C．有最大值 D．有最小值

变式7．(2023·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习)下列函数中，在区间上是增函数的是(????)

A． B． C． D．

变式8．(2023·河南郑州·高一郑州市第七中学校考期末)函数的单调递减区间为(????)

A． B． C． D．

变式9．(2023·福建·高一厦门一中校考期中